江苏省常州市金沙高级中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

江苏省常州市金沙高级中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量， =（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】由?﹣1×（2+m）﹣2×2=0，即可得出． 【解答】解： =（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）． 由?﹣1×（2+m）﹣2×2=0，?m=﹣6． 因此“m=﹣6”是“”的充要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了向量的共线定理、充要条件，属于基础题． 2. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图2,在鳖臑PABC中，PA ⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP=AC=1，过A点分别作AE 1⊥ PB于E、AF⊥PC于F，连接EF当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是 A         B.              C.         D 参考答案： B 显然，则，又，则，于是，，结合条件得，所以、均为直角三角形，由已知得，而，当且仅当时，取“=”，所以，当时，的面积最大，此时，故选B. 3. 圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围是（   ）   A．    B．    C．    D． 参考答案： A 略 4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过对角线AC1的一个平面交BB1于E，交DD1于F得四边形AEC1F，则下列结论正确的是（   ） A．四边形AEC1F一定为菱形 B．四边形AEC1F在底面ABCD内的投影不一定是正方形 C．四边形AEC1F所在平面不可能垂直于平面ACC1A1 D．四边形AEC1F不可能为梯形 参考答案： D 对于A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故A错误； 对于B, 四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误； 对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故C错误； 对于D，四边形一定为平行四边形，故D正确. 故选：D   5. 复数的共轭复数是（　　） A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i 参考答案： D 【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．  【专题】计算题． 【分析】首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数． 【解答】解：∵复数===﹣2﹣i， ∴共轭复数是﹣2+i． 故选：D． 【点评】复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是一定要得分的题目． 6. 如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数： ①；②； ③；④．其中“同簇函数”的是（    ） A．①②         B．①④               C．②③               D．③④ 参考答案： C 略 7. 已知函数，若关于x的方程有六个不同的实根，则a的取值范围是                                                                                                            （    ）        A．                    B．                    C．                    D．（8，9） 参考答案： C 8. 函数满足等于 A． B． C．2 D．13 参考答案： B 略 9. 已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则 A．n⊥β    B．n∥α   C．n∥β或n        D．n∥α或n 参考答案： D 【分析】 根据空间几何的垂直平行关系，找出反例即可。 【详解】根据条件，画出示意图反例如下图 可分别排除A、B、C 所以选D   10. 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（   ）. A.      B.   C.   D. 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是虚数单位，则▲. 参考答案： 【知识点】复数的基本运算.L4   解析：,故答案为。 【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以即可。 12. 己知函数，当曲线y = f(x)的切线L的斜率为正数时,L在x轴上截距的取值范围为____________. 参考答案： 略 13. 某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1～20号，第二组21～40号，…，第五组81～100号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为          ． 参考答案： 64 设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即， 又第二组抽取的号码为，即，所以， 所以第四组抽取的号码为．   14. 现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人 担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有          种不同的选法. 参考答案： 60  15. 曲线在处的切线方程为__________． 参考答案： 【分析】 求出和的值，利用点斜式可求得所求切线的方程. 【详解】，，，， 因此，曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 16. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为          ． 参考答案：    17. 已知，则   ▲   ． 参考答案： 试题分析：.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，E，F分别为AC，的中点. （1）求证：直线EF∥平面； （2）求二面角的余弦值. 参考答案： （1）取的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，的中点， 所以FG∥．又平面，平面， 所以FG∥平面．又AE∥且AE＝， 所以四边形是平行四边形． 则∥．又平面，平面， 所以EG∥平面． 所以平面EFG∥平面．又平面， 所以直线EF∥平面． 6分 （2）令AA1＝A1C＝AC＝2， 由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E平面A1AC， 则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，)，A(0，－1，0)，． 所以，，， 令平面A1BC的法向量为， 由则令，则． 令平面B1BC的法向量为， 由则令，则． 由，故二面角的余弦值为. 12分 19. 已知. （Ⅰ）求函数的最大值为M； （Ⅱ）在第（1）问的条件下，设，且满足,求证： . 参考答案： （1）2；（2）见解析 【分析】 （Ⅰ）将代入，对x分类讨论，并根据x的范围确定的最大值。 （Ⅱ）因为，由进行化简，利用三角不等式结合均值不等式进行证明。 【详解】（Ⅰ），即 知. （Ⅱ）由，知 . 当且仅当，即. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，均值不等式的简单应用，注意分类讨论思想的重要应用，属于中档题。 20. 在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图． （1）求证：AB⊥CD； （2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出； （2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出． 【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB?平面ABD，AB⊥BD， ∴AB⊥平面BCD，又CD?平面BCD，∴AB⊥CD． （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD， ∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M． ∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=． 设平面BCM的法向量=（x，y，z），则， 令y=﹣1，则x=1，z=1． ∴=（1，﹣1，1）． 设直线AD与平面MBC所成角为θ． 则sinθ=|cos|===． 21. （本小题满分12分）已知函数    （I）化简函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的最小正周期；    （Ⅱ）在锐角△ABC中，若，求△AB C的面积． 参考答案： (1)        (2) 22. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝＋3－ax． （1）若f（x）在x＝0处取得极值，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若关于x的不等式f（x）≥＋ax＋1在x≥时恒成立，试求实数a的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）, ∵在处取得极值， ，    …………2分 则……4分 曲线在点处的切线方程为： .   ……………5分 （II）由，得， 即 ，∵,∴，     ……7分 令 ， 则．  ………8分 令 ，则． ∵，∴，∴在上单调递增，     ……10分 ∴，因此，故在上单调递增， 则，∴，即的取值范围是． …………12分