安徽省芜湖市南陵县第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析

安徽省芜湖市南陵县第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若数列｛an｝的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是(    ) A．等比数列 B．等差数列 C．等比或等差数列 D．非等差数列 参考答案： C 2. 偶函数在区间（a>0）上是单凋函数，且．则方程在区间内根的个数是(  ).  (A)l             (B)2  (C)3             (D)0 参考答案： B 3. 给出下列四个命题： ①的对称轴为 ②函数的最大值为2； ③函数的周期为 ④函数上的值域为． 其中正确命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： B 略 4. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（    ） A．－1           B．0            C．1            D．2 参考答案： C ，所以虚部为1，故选C。   5. 设平面向量，若//，则等于 A. B. C. D. 参考答案： D 略 6. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）与直线l：x=4交于A，B两点，若△OAB的面积为32，则抛物线C的准线方程为（　　） A．x=﹣ B．x=﹣4 C．x=﹣1 D．x=﹣8 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用△OAB的面积为32，建立方程，即可求出抛物线C的准线方程． 【解答】解：由题意，x=4，y=±， ∵△OAB的面积为32， ∴=32， ∴p=8， ∴抛物线C的准线方程为x=﹣4， 故选B． 7. 已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（　　）       B．     C．     D． 参考答案： A 定义域为， ①当时，，， 令，解得， 由，得，由，得， ∴当时，． 又是偶函数，∴图象关于轴对称，， ∵只有个公共点，∴最大值为1． 则最长周期为，即，即， 则，∴， 解得，故周期最大的，故选A． 8. （5分）若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，则a的值为（） A． 3 B． ﹣3 C． D． 参考答案： B 考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆． 分析： 利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出． 解答： 解：∵直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直，∴，解得a=﹣3． 故选：B． 点评： 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题． 9. 设，，是非零向量，已知：命题p：∥，∥，则∥；命题q：若?=0， ?=0则?=0，则下列命题中真命题是（　　） A．p∨qB．p∧qC．（￢p）∧（￢q）D．￢p∨q 参考答案： A 【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量共线的性质以及向量数量积的应用，判断pq的真假即可． 【解答】解：∵，，是非零向量， ∴若∥，∥，则∥；则命题p是真命题， 若?=0， ?=0，则?=0，不一定成立， 比如设=（1，0），=（0，1），=（2，0），满足?=0， ?=0，但?=2≠0，则?=0不成立， 即命题q是假命题， 则p∨q为真命题．，p∧q为假命题．，（￢p）∧（￢q），￢p∨q都为假命题， 故选：A． 10. 过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 ，则双曲线的离心率为   A.            B．          C.             D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 用min{a，b}表示a，b两个数中的较小的数，设f（x）＝min{，}，那么由函数y＝f（x）的图象、x轴、直线x＝和直线x＝4所围成的封闭图形的面积为_____________． 参考答案： 略 12. 已知在直角坐标平面中，圆C的方程为x2+y2﹣4x+2y+4=0，若在直线y=kx+2上存在点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是          ． 参考答案： （﹣∞，﹣] 考点：直线与圆的位置关系． 专题：直线与圆． 分析：由已知得圆心C（2，﹣1）到直线y=kx+2的距离：d=≤2，由此能求出实数k的取值范围． 解答： 解：圆x2+y2﹣4x+2y+4=0的圆心C（2，﹣1），半径r==1， ∵在直线y=kx+2上存在点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， ∴圆心C（2，﹣1）到直线y=kx+2的距离： d=≤2，解得k≤﹣． ∴实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]． 故答案为：（﹣∞，﹣]． 点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用． 13. 若等比数列的各项均为正数， 且成等差数列，则      ． 参考答案： 14. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是           ．  参考答案： 15. 若函数，则的最大值是             . 参考答案： 16 略 16. 设集合，，若存在实数，使得则实数a的取值范围是___________． 参考答案： 0 17. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前4项和        。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 经过统计分析，公路上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数. (1)当时，求函数的表达式； (2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时） 参考答案： 解（1）由题意：当时，； 当时，设 …………………………2分     再由已知得解得 …………………………4分     故函数v(x)的表达式为………………7分 （2）依题意并由（1）可得， …………9分    当时，为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；    当时，    当且仅当，即时，等号成立.         所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值.  …12分  综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.                                                    …………………………14分 19. 已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m． （1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围． 参考答案： （1）由x2﹣2x﹣8≤0得﹣2≤x≤4，即p：﹣2≤x≤4，记命题p的解集为A=[﹣2，4]，……1分 ∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，∴，解得：m≥4．………5分 （2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p与q一真一假，………7分 ①若p真q假，则，无解，②若p假q真，则， 解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．………………12分 20. （12分）如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点。    （1）求证：AC⊥SBD；    （2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论。   参考答案： 解析:证明：（1）∵底面ABCD是菱形，O为中心。 ∴AC⊥BD，…………………………3分 又SA=SC， ∴AC⊥SO，而SOBD=0，……………………5分 ∴AC⊥面SBD。……………………6分 （2）取棱SC中点M，CD中点N，连接MN， 则动点P的轨迹即是线段MN，………………8分 证明：连结EM、EN， ∵E是BC中点，M是SC中点， ∴EM//SB， 同理EN//BD， ∵AC⊥面SBD ∴AC⊥SB ∴AC⊥EM，………………9分 同理AC⊥EN， 又EMEN=E， ∴AC⊥面EMN，……………………10分 因此，当P点在线段MN上运动时，总有AC⊥EP，………………12分   21. 已知函数（e为自然对数的底数） （Ⅰ）试讨论函数的导函数的极值； （Ⅱ）若（e为自然对数的底数），恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）由导数的求导法则得出，利用导数求极值的步骤得出极值。 （Ⅱ）构造函数令，求导得到，利用导数求最值的方法对的值进行分类讨论，即可得出实数的取值范围。 【详解】（Ⅰ）的定义域为.， 当时，，函数在单调递增，函数没有极值. 当时，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增. 函数的极小值为，没有极大值. （Ⅱ）对，恒成立，即对，， 对，. 令，则 . ①当，即时，对，，在上单调递增， ，解得，满足题意. 当时，即，对，，在上单调递减， ，解得满足题意. ③当，即时，对于，；对于，. 在上单调递减，在上单调递增， . 即 设，由于在单调递减， ，即， 满足题意. 综上①②③可得，. 【点睛】本题在求的取值范围时，直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式从而求出参数的取值范围。 22. （本小题满分12分）已知函数 （Ⅰ）当=1时，求在点处的切线方程； （Ⅱ）证若函数在区间[，3]上为单调函数，求的取值范围. 参考答案：