河北省衡水市深州前么头中学高三数学理下学期期末试题含解析

河北省衡水市深州前么头中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数的递减区间为（，），则a的取值范围是（　） 　　A．a＞0　　　　　　　　　　　　B．-1＜a＜0 　　C．a＞1　　　　　　　　　　　　D．0＜a＜1 参考答案： 答案：A 2. 已知点A，B是双曲线﹣=1的顶点，P为双曲线上除顶点外的一点，记kPA，kPB分别表示直线PA，PB的斜率，若kPA?kPB=，则该双曲线的离心率为(     ) A．3 B．2 C． D． 参考答案： C 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：根据题意得A（﹣a，0），B（a， 0）．设P（m，n），利用直线的斜率公式算出kPA?kPB=．由点P是双曲线上的点，坐标代入双曲线方程化简整理得n2=，从而得出kPA?kPB==，由此得到a、c的关系式，从而解出双曲线的离心率e的值． 解答： 解：由题意，可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（m，n） ∴kPA?kPB==． ∵点P是双曲线上的点，可得，化简整理得n2=． ∴kPA?kPB= ∵kPA?kPB=， ∴=，可得e==． 故选：C． 点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了直线的斜率公式、双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题． 3. 已知函数，若成立，则 的最小值为（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： C 4. 已知变量满足，则的最大值为 A．              B．               C．            D． 参考答案： C 5. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的值等于（    ） A．4                B．3              C．2               D．1 参考答案： D 6. 函数的大致图像是                                                                       A                 B               C Ｄ 参考答案： B 7. 设等差数列的前项和为，在同一个坐标系中，及的部分图象如图所示，则（    ） A.当时，取得最大值 B.当时，取得最大值 C.当时，取得最小值 D.当时，取得最小值 参考答案： 【分析】本题是综合考察等差数列及其前项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高。首先，考生需要对于图象中三个点具体表示的含义有做出具体详尽的分析，三个点的含义是处理这个问题的前提和基础，要分析清楚含义，考生要有有条理清晰的分析能力及较好的数列基础。当分析出三个点的含义之后，对于前项和的最值问题也存在两种做法，第一种可以直接利用题目中点的坐标完成数列通项公式的求解，第二种方法就是直接利用等差数列的性质进行处理。本题的难度较高，对学生的数学思维能力提出了挑战，十分符合北京高考的命题思路和方向，熟悉的知识点，但是给出了不同于以往的题目特征。 【解】A. 首先分析图象中三个点各自的含义，若横坐标为的点表示，那么的情况分为两种：（1），在这种情况下，根据图象可知，必然小于，但我们可以根据图象发现，，，等差数列为单调递减的，说明数列从第一项至第七项应该都是大于的，那么前7项和，与图象给出的信息矛盾，故不成立；（2），在这种情况下，根据图象可以推理出前7项和，但是，，说明数列单调递增，且从第一项至第八项均小于，那么前7项和必然大于，又产生矛盾。说明横坐标为处的点表示的是数列的前8项和，此时需要分析横坐标为处的两个点各自的含义，若，则，说明数列单调递减，那么可知数列在第一项至第8项均为正数，那么，与图象信息矛盾，故，，，可以解得，可知等差数列公差为，接下来可以有两种基本思路去处理。 方法一：直接求解数列通项，根据公差，解得，那么可以解得前项和的表达式为，可知其对称轴，距它最近的整数为，故其在时取最大值，故选A. 方法二：从前项和的最值性质可以看出，数列本身正负发生改变的地方是产生最值的地方，根据分析可知，，那么，，可见，数列从第一项至第四项均是正数，此时前项和越加越大，最大值在第四项取到，故选A. 8. 已知集合，，则=（    ） A．          B．         C．             D． 参考答案： D 略 9. 《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同）．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的那个节气（小暑）晷长为（　　） A．五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．一丈二尺五寸 参考答案： A 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】设晷长为等差数列{an}，公差为d，a1=135，a13=15，利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】解：设晷长为等差数列{an}，公差为d，a1=135，a13=15， 则135+12d=15，解得d=﹣10． ∴a14=135﹣10×13=5 ∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是5寸． 故选：A． 10. 已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个 参考答案： B 　考点： Venn图表达集合的关系及运算． 专题： 集合． 分析： 根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N，进而可得M与N的元素特征，分析可得答案． 解答： 解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N， 又由M={x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3， 即M={x|﹣1≤x≤3}， 在此范围内的奇数有1和3． 所以集合M∩N={1，3}共有2个元素， 故选B． 点评： 本题考查集合的图表表示法，注意由Venn图表分析集合间的关系，阴影部分所表示的集合． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=        ． 参考答案： 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设等比数列{an}的公比是q，根据题意和等比数列的通项公式列出方程，化简后求出q的值，即可求出a2． 【解答】解：设等比数列{an}的公比是q， 因为a1=，a3a5=4（a4﹣1）， 所以（）（）=4（﹣1）， 化简得，q6﹣16q3+64=0，解得q3=8，则q=2， 所以a2=a1?q==， 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及方程思想，属于基础题． 12. 在锐角中，角的对边分别是，若的面积为，则      ；       参考答案： 13. 已知R为实数集，集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（4﹣x）＜0}，则A∩（?RB）=　    　． 参考答案： {1，2，3，4} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】化简集合B，根据补集与交集的定义写出A∩（?RB）即可． 【解答】解：集合A={1，2，3，4，5}， B={x|x（4﹣x）＜0}={x|x（x﹣4）＞0}={x|x＜0或x＞4}， ∴?RB={x|0≤x≤4} ∴A∩（?RB）={1，2，3，4}． 故答案为：{1，2，3，4}． 14. 已知幂函数的图像不过坐标原点，则的值是___   ． 参考答案： 1或2   略 15. 如图， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（1）；（2）    参考答案： （1）；  （2）     16. 下列程序执行后输出的结果是S＝________. i＝1 S＝0 WHILE　i<＝50   S＝S＋i   i＝i＋1 WEND PRINT S END 参考答案： 1275 17. 现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________. 参考答案： 16 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某市一所高中随机抽取部分2014-2015学年高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （Ⅰ）求直方图中x的值；     （Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；     （Ⅲ）从学校的2014-2015学年高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率） 参考答案： 考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）利用直方图概率的和为1，直接求解x即可． （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率，然后求解1200名新生中有144名学生申请住宿的人数．（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4求出概率，得到分布列，然后求解期望． 解答： （本小题满分12分） 解（Ⅰ）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=1． 所以 x=0.0125．   … （Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为： 0.003×2×20=0.12， 因为1200×0.12=144， 所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿．… （Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，4 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为， ，，，，． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P EX=．（或） 所以X的数学期望为1．… 点评：本题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． 19. （本小题满分12分） 已知数列的前项和和通项满足,数列中，, . （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求的前项和. 参考答案： 【知识点】数列求和D4 （1） （2） （1）由，得 当时， 即（由题意可知） 是公比为的等比数列，而 ， 由，得 （2），设，则 由错位相减，化简得： （12分） 【思路点拨】（1）由，得可求；（2））数列为差比数列，利用错位相减法求解即可. 20. 设函数. （1）若是函数的一个零点，求的值； （2）若是函数的一个极值点，求的值. 参考答案： 解：（1）是函数的一个零点, ∴ , 从而.        ∴    （2）, 是函数的一个极值点        ∴, 从而.        ∴. 略 21. （本小题满分14分） 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，且椭圆过点. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）直线过点M交椭圆于A、B两点，且，求直线的方程． 参考答案： 解：(1)设椭圆方程为（>b>0）．………1分 双曲线的焦点坐