2022-2023学年湖南省长沙市国防科大附属中学高二数学理模拟试题含解析

2022-2023学年湖南省长沙市国防科大附属中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若aR，则“a＝”是“＝4”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 略 2. 已知函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为 A. (－3,0) B.(－∞,－3) C. (－3,+∞) D. (－∞,0) 参考答案： A 【分析】 求导函数，利用函数在x∈R上有大于零的极值点，可得在上有解，从而可求参数a的范围． 【详解】，显然当时是单调函数， 由题意可得在上有解， 即在上有解，因为，所以．故选A． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式有解问题，属于中档题． 3. 设函数，则 A．在单调递增，其图象关于直线对称 B．在单调递增，其图象关于直线对称 C．在单调递减，其图象关于直线对称 D．在单调递减，其图象关于直线对称 参考答案： D 4. 在各棱长均相等的四面体A-BCD中,已知M是棱AD的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 取中点,连结，则,从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 各棱长均相等的四面体中棱长为2， 设取中点,连结， 是棱的中点，, 是异面直线与所成角（或所成角的补角）， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为，故选C. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值. 5. 设命题p：?x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1． 命题q：若m＞1，则方程x2+my2=1表示焦点在x轴上的椭圆． 那么，下列命题为真命题的是（　　） A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q） 参考答案： C 【考点】复合命题的真假． 【分析】分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假的关系进行判断即可． 【解答】解：当x0=时，lnx0=﹣1即：?x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1，故命题p是真命题， 方程x2+my2=1的标准方程为x2+=1， 当m＞1，则0＜＜1，则方程表示焦点在x轴上的椭圆，故命题q是真命题， 则p∧q为真命题， 故选：C 【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据条件判断p，q的真假是解决本题的关键． 6. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、…这样的数称为“正方形数”．从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（　　） A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28 参考答案： D 【考点】F1：归纳推理． 【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果． 【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55， 且正方形数是这串数中相邻两数之和， 很容易看到：恰有21+28=49． 故选D． 7. 如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是（　 　）   A．                          B． C．                          D． 参考答案： C 8. 已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 参考答案： B 【考点】等比数列的性质． 【分析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，即可得出结论． 【解答】解：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列， 所以a4a5a6=5． 故选：B． 9. 抛物线 上到其焦点的距离为10的点的坐标为(　　) A．（6,9）    B．（9,6）   C．（-6,9）、（6,9）  D． 参考答案： C 10. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据： y 30 40 p 50 70 m 2 4 5 6 8 经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（　　） A．45 B．50 C．55 D．60 参考答案： D 【考点】线性回归方程． 【专题】函数思想；综合法；概率与统计． 【分析】求出，代入回归方程计算，从而得出p的值． 【解答】解：==5， ∴=6.5×5+17.5=50， ∴=50，解得p=60． 故选：D． 【点评】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知抛物线的焦点为F，经过F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与准线l交于点B、A在B的上方,且AK⊥l于K，若△KFB是等腰三角形,腰长为2,则p=__。 参考答案： 1 如下图，因为是等腰三角形，腰长为2，所以必有，简单可证也为等腰三角形且，由抛物线的定义可得，又因为，所以，即   12. 如图，矩形ABCD中曲线的方程分别为，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____. 参考答案： 【分析】 运用定积分可以求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率. 【详解】解:阴影部分的面积为， 故所求概率为 【点睛】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分面积是解题的关键. 13. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，2，0），=（﹣1，2，﹣1）．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是　　． 参考答案： ①②③ 【考点】M1：空间向量的概念． 【分析】利用向量垂直与平行的性质能求出结果． 【解答】解：由=（2，﹣1，﹣4），=（4，2，0），=（﹣1，2，﹣1），知： 在①中， =﹣2﹣2+4=0，∴⊥，∴AP⊥AB，故①正确； 在②中， ?=﹣4+4+0=0，∴⊥，∴AP⊥AD，故②正确； 在③中，由AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，知是平面ABCD的法向量，故③正确； 在④中， =（2，3，4）， 假设存在λ使得=，则，无解， ∴∥．故④不正确； 综上可得：①②③正确． 故答案为：①②③． 14. 已知下列命题（其中a，b为直线，α为平面）： ①若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线一定垂直于这个平面； ③若a∥α，b⊥α，则a⊥b； ④若a⊥b，则过b有惟一α与a垂直． 上述四个命题中，是真命题的有　　．（填序号） 参考答案： ③④ 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】①平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，故①错误；②垂直于这条直线的直线与这个平面可以是任何的位置关系，故②错误．若a∥α，b⊥α，则根据线面平行、垂直的性质，必有a⊥b． 【解答】解：①平面内无数条直线均为平行线时，不能得出直线与这个平面垂直，将“无数条”改为“所有”才正确；故①错误； ②垂直于这条直线的直线与这个平面可以是任何的位置关系，有可能是平行、相交、线在面内，故②错误． ③若a∥α，b⊥α，则根据线面平行、垂直的性质，必有a⊥b，正确； ④若a⊥b，则过b有且只有一个平面与a垂直，显然正确． 故答案为③④． 15. 抛物线y2=4x的焦点坐标为　　． 参考答案： （1，0） 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标． 解答： 解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程， p=2∴焦点坐标为：（1，0） 故答案为：（1，0） 点评： 本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题． 16. 函数在处的切线方程___________          参考答案： 略 17. 在数列中，，且对于任意正整数n，都有，则＝    . 参考答案： 4951  略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，动点满足：点到定点与到轴的距离之差为.记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）过点的直线交曲线于、两点，过点和原点的直线交直线于点，求证：直线平行于轴. 参考答案： （1）依题意：……………………………………………………………2分        ……………………4分    ……………………………………………………………………………………6分    注：或直接用定义求解. （2）设，直线的方程为 由    得 …………………………………………………8分 直线的方程为  点的坐标为……………………10分 直线平行于轴.……………………………………………………………………13分 方法二：设的坐标为，则的方程为 点的纵坐标为， 直线的方程为 点的纵坐标为. 轴；当时，结论也成立， 直线平行于轴. 略 19. 已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1． （1）求证：2a+b=2； （2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值． 参考答案： 【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可； （2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可． 【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|， ∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0， ∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+， ∴a+=1，2a+b=2； 法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=， 显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增， ∴f（x）的最小值为f（）=a+， ∴a+=1，2a+b=2． （2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立， =+=（+）（2a+b ）?=（1+4++）， 当a=b=时，取得最小值， ∴≥t，即实数t的最大值为； 方法二：∵a+2b≥tab恒成立， ∴≥t恒成立， t≤=+恒成立， +=+≥=， ∴≥t，即实数t的最大值为； 方法三：∵a+2b≥tab恒成立， ∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立， ∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立， ∴（3+2t）2﹣3