广东省河源市庆龄中学高二数学理模拟试题含解析

广东省河源市庆龄中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若动点A（x1,y1），B（x2,y2）分别在直线l1：x+y－7=0和l2：x+y－5=0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3                          B．2          C．3                          D．4 参考答案： A 2. 设a、b、c均为正实数，则三个数（　　)． A．都大于2  B．都小于2 C．至少有一个不大于2      D．至少有一个不小于2 参考答案： D 3. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：   甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103                则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性(　　) A．甲           B．乙           C．丙           D．丁 参考答案： D 略 4. 从图示中的长方形区域内任取一点M，则点M取自图中阴影部分的概率为   　A．               　　　　  B．        　C．              　　　　　　  D． 参考答案： C 图中阴影部分的面积为，长方形区域的面积为1×3＝3， 因此，点M取自图中阴影部分的概率为． 故选：C．   5. 若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是（　 ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： D 6. 有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有   （　　） A．10      B．48      C．60      D．80 参考答案： D 7. 函数的部分图象如图所示，则的值是 （   ） A．4           B.2       C.          D. 参考答案： B 8. 双曲线C以椭圆=1的焦点为顶点，以椭圆长轴端点为焦点，则双曲线C的方程为(     ) A．﹣y2=1 B．﹣+y2=1 C．=1 D．﹣=1 参考答案： B 【考点】双曲线的标准方程；椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】先求出椭圆的焦点与顶点即所求双曲线的顶点与焦点可知且焦点位置确定，即可求解双曲线的方程． 【解答】解：椭圆=1的焦点在y轴上，故设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0）． 则a=1，c=2，∴b2=c2﹣a2=3， ∴双曲线方程为：﹣+y2=1． 故选B． 【点评】本题主要考查了利用椭圆与双曲线的性质求解双曲线的方程，解题的关键是熟练掌握椭圆与双曲线的性质，正确找出题中的相关量． 9. 已知两个正数a,b的等差中项为4, 则a,b的等比中项的最大值为(      ) A. 2   B,. 4    C. 8   D. 6 参考答案： B 10. 设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b. 其中能使α∥β一定成立的条件是(　　) A．①②　　 B．②③　　 C．②④　　 D．③④ 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为__________. 参考答案： 【分析】 根据题意，令，可以求出圆的圆心坐标，又因为圆经过点，则圆的半径为C，P两点间的距离，利用极坐标公式即可求出圆的半径，则可写出圆的极坐标方程. 【详解】在中，令，得，所以圆的圆心坐标为．因为圆C经过点，所以圆的半径，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为． 【点睛】本题考查用极坐标公式求两点间的距离以及求点的坐标，考查圆的极坐标方程，考查了学生的计算能力，属于基础题. 12. 若双曲线的离心率，则       ． 参考答案： 48 13. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若，则cosA=       参考答案： 14. 在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB=,则角B的值为________. 参考答案： 略 15. 已知x＞0，y＞0，n＞0，4x+y=1，则+的最小值为　　． 参考答案： 16 【考点】基本不等式． 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，4x+y=1， 则+=（4x+y）=8+≥8+2=16，当且仅当y=4x=时取等号． 其最小值为16． 故答案为：16． 16. 如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在直线方程是        . 参考答案： 17. 已知正三棱锥底面的三个顶点A、B、C在球的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则球的表面积是         参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=x3﹣ax2+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0． （1）求a，b的值； （2）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出a和b，从而得到函数f（x）的解析式； （2）先求出f′（x）=0的值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值． 【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax， ∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上， ∴y=﹣x+3=f（1）=﹣a+b=2①， f′（1）=﹣1=1﹣2a②， 由①②解得：a=1，b=； （2）∵f（x）=x3﹣x2+， ∴f′（x）=x2﹣2x， 由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点，所以有 x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）和（2，+∞），单调递减区间是（0，2）． ∵f（0）=，f（2）=，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8， ∴在区间[﹣2，4]上的最大值为8． 19. （15分）4个男同学，3个女同学站成一排． （1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？ （2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ （3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ （4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ 参考答案： （1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排：；…（3分） （2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有，共有…（7分） （3）先把4个男生排练有种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有=1440…（11分） （4）先把甲乙排好顺序有种排序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，有种，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序，有，共有．…（15分） （1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排 （2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序 （3）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔 （4）先把甲乙排好顺序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序 20. 已知向量＝，，向量＝(，－1)  (1)若，求的值?； (2)若恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： (1)∵，∴，得，又，所以； (2)∵＝， 所以， 又??∈[0，?]，∴，∴， ∴的最大值为16，∴的最大值为4，又恒成立，所以。 21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． （1）证明：AE⊥平面PCD； （2）求PB和平面PAD所成的角的大小． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）证明：CD⊥平面PAC，可得AE⊥CD，证明AE⊥PC，即可证明AE⊥平面PCD； （2）证明∠APB为PB和平面PAD所成的角，即可求PB和平面PAD所成的角的大小． 【解答】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 故CD⊥PA．… 由条件CD⊥AC，PA∩AC=A，… ∴CD⊥平面PAC．… 又AE?平面PAC，∴AE⊥CD．… 由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．… ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．…  又PC∩CD=C， 综上得AE⊥平面PCD．… （2）解：在四棱锥P﹣ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB．… 又AB⊥AD，PA∩AD=A，则 AB⊥平面PAD，… 故PB在平面PAD内的射影为PA，则∠APB为PB和平面PAD所成的角．…    在Rt△PAB中，AB=PA， 故∠APB=45°．… 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．… 22. （本题满分12分） 命题p：关于的不等式对于一切恒成立，命题q：函数是增函数，若为真，为假，求实数的取值范围； 参考答案： 设，由于关于的不等式对于一切恒成立，所以函数的图象开口向上且与轴没有交点，故，∴.   2分 函数是增函数，则有，即.  由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假.  ①  若p真q假，则  ∴； ②  ②若p假q真，则  ∴； 综上可知，所求实数的取值范围是｛或｝. 略