2022-2023学年山西省晋中市韩村乡实验中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年山西省晋中市韩村乡实验中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，下列判断正确的是（　　　　） A. 在定义域上为增函数 B. 在定义域上为减函数 C. 在定义域上有最小值,没有最大值 D. 在定义域上有最大值,没有最小值 参考答案： C 【分析】 求出函数的导数,求出极值点,判断函数的单调性,然后求解函数的最小值即可． 【详解】∵ , ∴,令,得, ∴当x 时, ,单调递减． 当 时, ,单调递增, 所以,无最大值． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力． 2. 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到文科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 （A）          （B）          （C）             （D） 参考答案： C 3. “”是“”成立的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 参考答案： A 【分析】 根据题意，由对数函数的单调性，解对数不等式，结合对数函数定义域，判断充分性和必要性. 【详解】因为对数函数是增函数，定义域为 因为，所以，即，所以充分性成立； 因为，所以，即，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题. 4. 已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（　　） A．B． C． D． 参考答案： D 【考点】圆锥曲线的综合． 【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程． 【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0， ∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4， ∴=4，即b=4， ∵c=5，∴a=3， ∴双曲线方程为： =1． 故选：D． 　 5. 命题“存在”的否定是.(      ) A.不存在  B.存在     C.对任意的      D.对任意的 参考答案： D 6. 已知函数，R，则是 A．最小正周期为的奇函数      B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数      D．最小正周期为的偶函数       参考答案： C 7. 复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【解答】解：z（1﹣i）=|1+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i）， ∴z=+i， 则复数z的共轭复数+i在复平面内的对应点位于第四象限． 故选：D． 　 8. △ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2csinA，则C为（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 参考答案： C 【考点】正弦定理． 【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，求出sinC的值，即可确定出C的度数． 【解答】解：已知等式a=2csinA，利用正弦定理化简得：sinA=2sinAsinC， ∵sinA≠0， ∴sinC=， 则C=30°或150°． 故选：C． 9. 若函数与存在相同的零点，则a的值为 A．4或         B．4或－2       C．5或－2         D．6或 参考答案： C ，令得，或 由，得；由，得 10. 已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，一个交点为P，则｜PF2｜＝     A．6            B．4              C．2               D．1 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是       . 参考答案： 12. 已知是数列的前项和，若数列满足，，则数列的前项和          ． 参考答案： 13. 如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E，F分别是AB，AC上的点，且，（其中λ，μ∈（0，1）），且λ+4μ=1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为　　． 参考答案： 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】由向量的数量积公式求出?=﹣，连接AM、AN，利用三角形中线的性质得出，，再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得=μ2﹣μ+，结合二次函数的性质可得最小值． 【解答】解：连接AM、AN， ∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°， ∴?=||?||cos120°=﹣ ∵AM是△AEF的中线， ∴=（+）=（λ+μ） 同理，可得=（+）， 由此可得=﹣=（1﹣λ）+（1﹣μ） ∴=[（1﹣λ）+（1﹣μ）]2=（1﹣λ）2+（1﹣λ）（1﹣μ）?+（1﹣μ）2=（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）（1﹣μ）+（1﹣μ）2， ∵λ+4μ=1，可得1﹣λ=4μ， ∴代入上式得=×（4μ）2﹣×4μ（1﹣μ）+（1﹣μ）2=μ2﹣μ+ ∵λ，μ∈（0，1）， ∴当μ=时，的最小值为，此时||的最小值为． 故答案为： 14. 设函数f（x）=，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为　　． 参考答案： 2 【考点】函数的零点；根的存在性及根的个数判断． 【分析】根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案． 【解答】解：∵函数， 当x≤0时 y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1 令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去） 当0＜x≤1时 y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1 令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1 当x＞1时 y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1 令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1 则log2x=2，x=4 故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个 故答案为：2 15. 关于正四棱锥,给出下列命题： ①异面直线 ②侧面为锐角三角形; ③侧面与底面所成的二面角大于侧棱与底面所成的角； ④相邻两侧面所成的二面角为钝角。 其中正确命题的序号是(    )     参考答案： 答案：①②③④ 16. 已知无穷等比数列的首项，公比，则无穷等比数列各项的和是          . 参考答案： 12 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【试题分析】因为数列的公比，故数列存在极限， 则有，故答案为12. 17. 已知是第二象限角，且则_____________ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． (1) 若，求的最小值； (2) 若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围； (3) 若， 求证：． 参考答案： （1）；（2）；（3）详见解析. 【分析】 （1）先求出，再用求导的方法求出单调区间，极值，从而求出最值； （2）问题转化为在恒成立，方法有二： 解法一：对分类讨论，求出； 解法二：分离出参数，构造函数，转化为与函数的最值关系； （3）应用二次求导，先确定，要证，转为证，利用函数的单调性证转为证的大小关系，构造函数，通过研究函数的最值，从而得到结论. 【详解】解：(1)函数的定义域为， ，  若，记，则    的单调减区间为，单调增区间为.   的最小值为      （2）在上单调递增, 当且仅当在区间恒成立， 即在区间恒成立，      (I)  若，由（1）知 在定义域上单调递增，满足条件      (II)若， 令， 所以取有，不合题意 综上所述，若在上单调递增，则的取值范围是     (2)法二： 记，则 记,则 在上单调递减 (根据洛比塔法则)    .    （3）  若，， ∴ 在上单减， 当 时，在（0，1）上单增； 当时，在（1，+）上单减； 令，则 其中令 当时，在单减， 在（0，1）上单增， 又在上单调递减 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查分类讨论数学思想，合理构造函数是解题的关键，属于难题. 19. 选修4-4：坐标系和参数方程 已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2cosθ+4sinθ． （Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程． （Ⅱ）曲线C1，C2是否相交，若不相交，请说明理由；若交于一点，则求出此点的极坐标；若交于两点，则求出过两点的直线的极坐标方程． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程，由曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的直角坐标方程． （Ⅱ）求出曲线C1、C2的交线为4x﹣4y=0，即x=y，由此能示出过两点的直线的极坐标方程． 【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（θ为参数）， ∴曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2=1， ∵曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2cosθ+4sinθ， ∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4y=0． （Ⅱ）曲线C1是以C1（1，0）为圆心，以r1=1为半径的圆， 曲线C2是以C2（﹣1，2）为圆心，以=为半径的圆， |C1C2|==2∈（|r1﹣r2|，r1+r2）， ∴曲线C1，C2交于两点， ∵曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0， 曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4y=0． ∴曲线C1、C2的交线为4x﹣4y=0，即x=y， ∴过两点的直线的极坐标方程为tanθ=1，即或θ=． 20. （本题满分14分）已知向量 与 共线，设函数。    （Ⅰ）求函数的周期及最大值；    （Ⅱ）已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A、B、C，若有，边 BC＝，，求 △ABC 的面积．  参考答案： 解（1）因为，所以ks5u （2） ┄┄┄┄┄┄┄┄14分 21. (本小题满分12分)    四面体D-ABC,中，AB=BC,在侧面DAC中，中线AN⊥中线DM，且DB⊥AN （1）求证：平面ACD⊥平面ABC； （2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面体D-ABC的体积。 参考答案： 解：(1)证明：且                             又且为中