湖南省衡阳市 县第四中学高一数学理期末试题含解析

湖南省衡阳市 县第四中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，，则=（    ） A．    B．    C．    D． 参考答案： B 2. 若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，则到底面ABCD的距离为（ ）                                                        A． B． 1 C． D． 参考答案： D 略 3. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC、A1D的公垂线，则EF与BD1的关系为（   ）          A．相交不垂直      B．相交垂直                 C．异面直线                D．平行直线 参考答案： D 4. 已知数列中，，，若是等差数列，则等于(    ） A.                   B.             C.                D. 参考答案： A 5. 下列哪组中的两个函数是相等函数    A.     B. C.      D.  参考答案： D 6. 设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列说法错误的是（　） A．若d＜0，则数列{S n}有最大项 B．若数列{S n}有最大项，则d＜0 C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S n＞0 D．若对任意的nN*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列 参考答案： C 7. 函数的一个单调增区间是（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 对函数在每个选项的区间上的单调性进行逐一验证，可得出正确选项. 【详解】对于A选项，当时，，所以，函数在区间上不单调； 对于B选项，当时，，所以，函数在区间上单调递增； 对于C选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减； 对于D选项，当时，，所以，函数在区间上单调递减.故选：B. 【点睛】本题考查正弦型函数在区间单调性的判断，一般利用验证法进行判断，即求出对象角的取值范围，结合正弦函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题. 8. 若实数x，y满足|x|﹣ln =0，则y关于x的函数的图象形状大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】由条件可得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论 【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln =0， 则得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D． 再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A， 故选B 9. 下列说法正确的是(    ) A.两平行直线在直观图中仍平行 B.长度不等的线段在直观图中长度仍不等 C.矩形的中心投影一定是矩形 D.梯形的直观图是菱形 参考答案： A 10. 下列命题正确的有（    ） (1）很小的实数可以构成集合； (2）集合与集合是同一个集合； (3）这些数组成的集合有个元素； (4）集合是指第二和第四象限内的点集。 A．个           B．个            C．个           D．个 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）满足条件{1，2，3}?M?{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是        ． 参考答案： 7 考点： 子集与真子集． 专题： 探究型． 分析： 利用条件{1，2，3}?M?{1，2，3，4，5，6}，确定M的元素情况，进而确定集合M的个数． 解答： 方法1：∵{1，2，3}?M，∴1，2，3∈M，且集合M至少含有4个元素， 又M?{1，2，3，4，5，6}， ∴M={1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，3，6}， {1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，3，4，5，6}，共7个． 方法2： 由条件可知，1，2，3∈M，且集合M至少含有4个元素，即集合M还有4，5，6，中的一个，两个或3个，即23﹣1=7个． 故答案为：7． 点评： 本题主要考查利用集合关系判断集合个数的应用，一是可以利用列举法进行列举，二也可以利用集合元素关系进行求解．含有n个元素的集合，其子集个数为2n个． 12. 等比数列中，若和是方程的两个根，则       参考答案： 13. 若是奇函数，则            ． 参考答案： 解析: 14. （5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是           ；． 参考答案： n≥22，或n＞20 考点： 程序框图． 专题： 算法和程序框图． 分析： 计算每一次执行循环n，s的值，和已知比较即可确定退出循环的判定条件． 解答： 第1次循环：n=2，s=； 第2次循环：n=4，s=+； 第3次循环：n=6，s=++； … 第10次循环：n=20，s=； 第11次循环：n=22，s=+； 故退出循环的判断条件是 n≥22，或n＞20；． 故答案为：n≥22，或n＞20；．． 点评： 本题主要考查算法和程序框图，属于基础题． 15. 若关于x的不等式的解集为，则实数m=____________. 参考答案： 试题分析：由题意得：1为的根，所以，从而 考点：一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系 16. 若指数函数f（x）=（2a﹣1）x在R内为增函数，则a的取值范围是　　． 参考答案： （1，+∞） 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】令2a﹣1＞1解出． 【解答】解：∵指数函数f（x）=（2a﹣1）x在R内为增函数， ∴2a﹣1＞1，解得a＞1． 故答案为（1，+∞）． 【点评】本题考查了指数函数的单调性，是基础题． 17. 已知函数，是定义在区间上的奇函数，则_________. 参考答案： 27 【分析】 由于奇函数的定义域必然关于原点对称，可得m的值，再求 【详解】由于奇函数的定义域必然关于原点对称∴m＝3， 故f（m）＝ 故答案为27． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，利用了奇函数的定义域必然关于原点对称，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？ 参考答案： 解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润z元，目标函数为z＝10000x＋5000y. 由题意满足以下条件：          …………………………6分   可行域如图. 由图可以看出，当直线y＝－2x＋2z经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大. 解方程组得M的坐标为x＝2，y＝2.所以zmax＝10000x＋5000y＝30000. 故生产甲2车皮，乙2车皮能够产生最大的利润。……………………12分     略 19. （12分）如图所示，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P（2，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y=x上时，求直线AB的方程． 参考答案： 考点： 待定系数法求直线方程． 专题： 直线与圆． 分析： 由题意分别求出直线OA、OB的方程，由方程设出A、B的坐标，由中点坐标公式求出点C的坐标，利用C在直线上和三点共线：斜率相等，列出方程组求出方程的解，即可求出A的坐标，结合P（2，0）求出直线AB的斜率，代入点斜式方程再化简即可得直线AB的方程． 解答： 由题意可得kOA=1，， 所以直线OA的方程为y=x，直线OB的方程为． 设A（m，m），B（﹣n，n）， 所以AB的中点C的坐标为， 因为点C在直线上，且A、P、B三点共线， 所以，解得，…（8分） 所以． 又P（2，0），所以， 所以直线AB的方程为：y=（x﹣2），即．…（12分） 点评： 本题考查直线的有关知识：中点坐标公式、点斜式方程、三点共线：斜率相等，以及方程思想，考查计算能力． 20. A、B是单位圆O上的点，点A是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限.记且. （1）求点坐标；    （2）求的值. 参考答案： （1）(2) 21. 已知二次函数f(x)的最小值为1，且． （1）求函数f(x)的解析式；   （2）若函数f(x)在区间上不单调，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）依题意可设，由，得， 故.……………………………………………………………(6分) （2）要使函数在区间上不单调， 则， 解得. 所以实数的取值范围.…………………………………………………(12分) 22. （本题满分12分）设数列的前n项和为，若对任意都有 。①求数列的首项；②求证：数列是等比数列，并求 数列的通项公式；③若数列满足，且 ，求证：. 参考答案： 解：⑴∵  ∴     ⑵∵    ∴  (≥2)∴  ∴∴(为常数) (≥2) ∴数列是以为公比的等比数列∴  ⑶∵，，则        ①     ② 用错位相减法①-②得 得，所以 略