2022-2023学年河南省商丘市睢阳区综合中学高三数学文期末试题含解析

2022-2023学年河南省商丘市睢阳区综合中学高三数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则抛物线的准线方程为（   ） A.  x=8        B.     x=-8         C.   x=4          D. x=-4      参考答案： D 略 2. 定义在R上的奇函数 A. B.2 C. D. 参考答案： A 3. 设命题p：?x0∈（0，+∞），e+x0=5．命题q：?x∈（0，+∞），+x≥2﹣1．那么，下列命题为真命题的是（　　） A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q） 参考答案： C 【考点】复合命题的真假． 【专题】函数思想；定义法；简易逻辑． 【分析】利用函数零点存在定理以及基本不等式分别判断两个命题的真假，然后结合复合命题真假之间的关系是解决本题的关键． 【解答】解：设f（x）=ex+x﹣5，则f（x）=1﹣5=﹣4＜0，f（5）=e5+5﹣5=e5＞0， 则：?x0∈（0，+∞），使f（x0）=0，即e+x0=5成立，即命题p是真命题， +x=+x+1﹣1≥2﹣1=2﹣1， 当且仅当=x+1，即x+1=，x=时取等号， 故：?x∈（0，+∞），+x≥2﹣1成立，即命题q为真命题． 则p∧q为真命题，其余为假命题， 故选：C 【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系的判断，利用条件判断p，q的真假性是解决本题的关键． 4. 已知函数f(x)=sin(2x+)(x∈R)，为了得到函数g(x)=cos2x的图象，只需将y=f(x)的图象 A.向左平移个单位   B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 参考答案： A ，故选A 5. 已知数列的通项公式为，其前n项和为， 则在数列、、…中，有理数项的项数为 A．42        B．43           C．44         D．45 参考答案： B 6. 设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1且，则 A．      B．      C．      D． 参考答案： D 略 7. 执行右图的程序，若输出结果为2，则输入的实数的值是 A．3             B． C．4           D．2 参考答案： C 8. 函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）对称， 满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为                  （    ） A．        B．        C．        D． 参考答案： D 9. 如果实数满足条件，那么的最大值为（   ） A．2     B．1     C．-2     D．-3 参考答案： B 考点：简单的线性规划． 【名师点睛】由线性规划求目标函数最值的步骤： （1）作图：画届约束条件所确定的平面区域，和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线． （2）平移：将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数直线和可行域边界所在直线的斜率的大小比较． （3）求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 10. 设a∈R，则“直线l1：与直线l2：平行”是“a=1”的 A．必要不充分条件    B．充分不必要条件 C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 由直线：与直线：平行可得，或，选A. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （原创） △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的最大值为        参考答案： ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为 ∴角B的最大值为 【考点】解三角形，已知三角函数值求角，基本不等式，. 12. 设,一元二次方程有正数根的充要条件是=       . 参考答案： 3或4 略 13. 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且（其中为的前项和）,则____________. 参考答案：   3 略 14. 已知命题，都有，则为           ． 参考答案： ，使得 15. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为      ． 参考答案： 2 16. 在正项等比数列中，若成等差数列，则          ． 参考答案： 17. 已知中，分别是角的对边，，那么的面积 ________  。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}满足. （1）证明：； （2）设，证明：. 参考答案： 证明：（1）， ， 数列为递减数列.. 又由， （2）由（1）知， ，即. 19. 等比数列的各项均为正数，且 （1) 求数列的通项公式； (2) 设 求数列的前n项和. 参考答案： （2）                             （10分） 故                  （12分） 所以数列的前n项和为                 （14分） 20. 已知抛物线的方程为，为其焦点，过不在抛物线上的一点作此抛物线的切线，为切点.且. （Ⅰ）求证：直线过定点； （Ⅱ）直线与曲线的一个交点为，求的最小值. 参考答案： （Ⅰ）设直线的方程为，设， 以为切点的切线方程分别为，. 由消去得. 则，. 这两条切线的斜率分别为，. 由这两切线垂直得，得. 所以直线恒过定点. （Ⅱ）设，则，， 当时，则，可得， 当时，则，，， 同样可得. 所以. 由. 所以. 令，. . 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以. （或当时取等号.） 21. 在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），点B在直线l1：y=﹣1上，点M满足，，点M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）设直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出； （2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线的斜率，直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，由于点N在以PQ为直径的圆上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，即可得出． 解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线斜率，得到直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，可得以PQ为直径的圆方程为：，由于在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），进一步确定即可． 解答： 解：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1）， 又A（0，1），∴，，． 由得， 即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y， ∴曲线C的方程式为x2=4y． （2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N， 则点N必在y轴上，设N（0，n）， 又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切， 由得，∴， ∴直线l2的方程为， 令y=﹣1得，∴Q点的坐标为， ∴， ∵点N在以PQ为直径的圆上， ∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*）， 要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1， ∴在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）． 解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切， 由得，∴， ∴直线l2的方程为， 令y=﹣1得，∴Q点的坐标为， ∴以PQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣① 分别令x0=2和x0=﹣2，由点P在曲线C上得y0=1， 将x0，y0的值分别代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣② （y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③ ②③联立解得或， ∴在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1）， 将（0，1）的坐标代入①式得，①式， 左边==2（1﹣y0）+2（y0﹣1）=0=右边， 将（0，﹣1）的坐标代入①式得，①式， 左边=不恒等于0， ∴在坐标平面内是存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）． 点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、利用导数的几何研究抛物线的切线斜率、圆的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22. （12分） 已知为正整数 （Ⅰ）设，证明； （Ⅱ）设，对任意，证明 参考答案： 解析：证明：（Ⅰ）因为， 所以 （Ⅱ）对函数求导数: ∴             即对任意