四川省眉山市车辆厂中学高一数学理模拟试题含解析

四川省眉山市车辆厂中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数y=ax+1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（　　） A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，1） 参考答案： C 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【分析】由指数函数的图象恒过定点（0，1），再结合函数图象的平移得答案． 【解答】解：∵函数y=ax的图象过点（0，1）， 而函数y=ax+1的图象是把函数y=ax的图象向上平移1个单位， ∴函数y=ax+1的图象必经过的点（0，2）． 故选C． 【点评】本题考查指数函数的图象变换，考查指数函数的性质，是基础题． 2. 设Sn为数列的前n项之和，若不等式对任何等差数列及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为         (　　) A．0          B.          C.          D．1 参考答案： B 略 3. 已知角的终边经过点，则(    ) A．           B.             C.             D. 参考答案： A 略 4. 已知全集，集合，集合，则集合等于（    ） A．{3，4，5}        B．{3，5}           C．{4，5}           D． 参考答案： B 5. 若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC为（  ） A. 等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对 参考答案： A 【分析】 利用向量的运算法则将等式中的向量转化为三角形的各边对应的向量表示， 得到边的关系，得出三角形的形状． 【详解】 即， ， ， 即， ， 三角形为等腰三角形 故选：． 【点睛】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量加减的平行四边形法则，平面向量 的数量积运算，平面向量模的运算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量 积运算法则是解本题的关键． 6. 已知函数，若存在实数，满足，则实数m的取值范围为（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出， 再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意知，方程有解， 则， 化简得，即， 因为，所以， 当时，化简得， 解得； 当时，化简得， 解得， 综上所述的取值范围为． 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中利用题设条件化简，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 7. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若双曲线C在第一象限内存在一点P使=成立，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　） A．1， +1）B．（1， +1）C．（+1，+∞）D．（1， +1） 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】在△PF1F2中，运用正弦定理，结合条件由离心率公式可得|PF1|=e|PF2|，再由双曲线的定义，可得2a=|PF1|﹣|PF2|=（e﹣1）|PF2|，由存在P，可得|PF2|＞c﹣a，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：在△PF1F2中，可得=， 由=，可得 e===， 即有|PF1|=e|PF2|， 由双曲线的定义可得2a=|PF1|﹣|PF2|=（e﹣1）|PF2|， 由存在P，可得|PF2|＞c﹣a， 即有2a＞（e﹣1）（c﹣a）， 由e=，可得（e﹣1）2＜2， 解得1＜e＜1+． 故选：B． 8. 定义在R上的函数f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有，函数f（x﹣1）的图象关于（1，0）成中心对称，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（　　） A．（9，49） B．（13，49） C．（9，25） D．（3，7） 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】由题意可知函数单调递增，将不等式转化成f（m2﹣6m+21）＜f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n），由函数的单调性整理得：（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，则表示m2+n2表示的是阴影部分的点到原点的距离． 【解答】解：函数f（x﹣1）的图象关于点（1，0）中心对称，则函数y=f（x）关于原点对称，即f（x）为奇函数；， 由f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0得f（m2﹣6m+21）＜f（n2﹣8n）=f（﹣n2+8n）， 又由在R上f（x）对任意x1，x2（x1≠x2）都有， ∴函数y=f（x）是定义在R上的增函数， 则m2﹣6m+21＜﹣n2+8n， ∴（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4，表示以以（3，4）为圆心，以2为半径的圆的内部， ∴实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，即满足（m﹣3）2+（n﹣4）2＜4， 作出图象，m2+n2表示圆内部的点到原点的距离的平方， 则圆心到原点的距离d==5， ∴（m﹣3）2+（n﹣4）2=4内部的点到原点的距离范围（5﹣2，5+2），即（3，7）， ∴m2+n2的取值范围（9，49）， 故选A． 9. （4分）关于直线m、n与平面α、β，有以下四个命题： ①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n； ②若m∥α且n⊥β且α⊥β，则m∥n； ③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n； ④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n． 其中真命题有（） A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 参考答案： B 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用． 专题： 规律型． 分析： 命题①中注意考虑面面平行的性质及m与n位置的多样性； 命题②中注意考虑面面垂直的性质及m与n位置的多样性； 命题③根据n∥β且α∥β，知n∥α； 命题④由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面， 则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论． 解答： 命题①中，由m∥α，n∥β且α∥β，能得到m∥n，或m与n 异面，或m与n相交三种可能，故命题①错误； 命题②中，根据∵m∥α且n⊥β且α⊥β，也能得到m∥n，或m与n 异面，或m与n相交三种可能，故命题②错误； 命题③中，若m⊥α，且α∥β，则m⊥β，又因为n∥β，所以m⊥n，故命题③正确； 对于命题④，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交， 且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题④正确． 故选B． 点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题． 10. 下列四组函数中与是同一函数的是（  ） A.                B. C. f(x)=|x|,g(x)=    D. f(x)=, g(x)= 参考答案： C 对于A，定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域不同，不是同一函数； 对于C，，定义域相同，对应法则也相同，满足题意； 对于D， , g(x)=定义域不同，不是同一函数， 故选：C   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数的定义域为,且对一切正实数都成立，若，则             参考答案： 2 12. 附加题(本大题共10分,每小题5分) 已知AB是单位圆上的弦，是单位圆上的动点，设的最小值是，若的最大值满足，则的取值范围是       ． 参考答案： 13. 若，则的取值范围是____________________. 参考答案： 14. 若方程|2x﹣1|=a有唯一实数解，则a的取值范围是　　． 参考答案： a≥1或a=0 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】作函数y=|2x﹣1|的图象，从而结合图象讨论方程的根的个数即可． 【解答】解：作函数y=|2x﹣1|的图象如下， ， 结合图象可知， 当a=0时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解， 当0＜a＜1时，方程|2x﹣1|=a有两个实数解， 当a≥1时，方程|2x﹣1|=a有唯一实数解， 故答案为：a≥1或a=0． 【点评】本题考查了函数的图象与方程的根的关系应用及数形结合方法的应用． 15. 一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为________ 参考答案： 【分析】 设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点，利用勾股定理求出球的半径，由此能求出球的表面积． 【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球的球面上， ∴设此直三棱柱两底面的中心分别为，则球心为线段的中点， 设球的半径为，则 ∴球的表面积 . 故答案为：． 【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．   16. 函数的最大值为             。 参考答案： 17. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 参考答案： ①6    ②12 试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则. ①， ② 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）  设函数 （1）求解析式；ks5u （2）求函数的单调递减区间； （3）在给出的直角坐标系中用“五点作图法”画出函数在上的图像．（要求列表、描点、连线）   参考答案： 解：（1）............................................2分 （2）由得 所以，的单减区间是. ......................................................... .5分 （3）列表如下         0       1   0     -1   0 ......................................................... ......... ... ......................................................... .........9分           作出图像 .  ...................................................... ......................................................... ......... ... 12分   略 19. 已知定义域为的函数同时满足以下三个条件： [1] 对任意的，总有； [2] ； [3] 若，，且，则有成立， 并且称为“友谊函数”，请解