2022-2023学年江苏省南京市旭东中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市旭东中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数为奇函数，且在上为减函数的值可                                 以是                                                                    （    ） A．           B．　　　    C．           D． 参考答案： D 2. 若｜a｜＝1，｜b｜＝2，c＝a＋b，且c⊥α，则a与b的夹角为     A．30°         B．60°           C． 120°          D．150° 参考答案： C 3. （2）已知A=｛x|x+1>0｝，B=｛-2，-1，0，1｝，则（RA）∩B= （ ） （A）｛-2，-1｝ （B）｛-2｝ （C）{-2，0，1} （D）{0，1} 参考答案： A A：，，，所以答案选A 4. 当时，则下列大小关系正确的是                         （     ） A.             B.         C.             D. 参考答案： D 略 5. 函数的最小值为（     ） A． 1103×1104   B． 1104×1105    C． 2006×2007    D． 2005×2006 参考答案： A 6. 已知△的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（  ） A.             B.           C.            D. 参考答案： D 7. 已知函数f（x）=，令g（n）=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），则g（n）=(     ) A．0 B． C． D． 参考答案： D 考点：函数的值． 专题：函数的性质及应用． 分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=+=1，能求出g（n）=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）=． 解答： 解：∵f（x）=， ∴f（x）+f（1﹣x）=+ =+=1， ∴g（n）=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）=． 故选：D． 点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 8. 函数的图象如下，则等于 A.0     B.503       C.1006      D.2012 参考答案： D 由图象可知，函数的最大值为，最小值为，解得，函数的周期，即，所以，所以，当时，，所以，所以，即.在一个周期内，所以，选D. 9. 函数f(x)=A(x+)的图象如右图所示,为了得到g(x)=?Ax的图像,可以将f(x)的图像 A．向右平移个单位长度     B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度     D．向左平移个单位长度 参考答案： B 略 10. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（   ） A．          B．              C．             D． 参考答案： C ，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为） 可知，， 作中点，则可知为直角三角形． ， 中， ， 则，则中， 则中， 又异面线所成角为，则余弦值为． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．△ABC的外接圆半径为1，,若边BC上一点D满足，且，则△ABC的面积为______ 参考答案： ∵△ABC的外接圆半径R为1，， ∴由正弦定理， 可得：sinA=， ∵边BC上一点D满足BD=3DC，且∠BAD=90°， ∴A=120°，∠CAD=30°， BD=a=，CD=a=， ∴如图，由正弦定理可得：， 所以 所以 故填. 12. 已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为　　． 参考答案： 4π 考点： 球的体积和表面积．  专题： 空间位置关系与距离． 分析： 设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积． 解答： 解：设该球的半径为R， 则AB=2R，2AC=AB=×2R， ∴AC=R， 由于AB是球的直径， 所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得： BC2=AB2﹣AC2=R2， 所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=R2， 又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为， ∴VP﹣ABC=×R××R2=， 即R3=9，R3=3， 所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π． 故答案为： 点评： 本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题． 13. 设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，则的值为        ． 参考答案： 135 略 14. 已知满足条件（为常数） ，若的最大值为8，则=         . 参考答案： －6 略 15. 设五个数值31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是　_________　． 参考答案： 16. （13）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为            ． 参考答案： ． 17. 若实数满足 ,,则的取值范围是       ； 命题意图:考查线性规划，指数运算，基础题. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为等；分数在内，记为等；分数在内，记为等；60分以下，记为等.同时认定为合格，为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为的所有数据茎叶图如图2所示. （Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望． 参考答案： （Ⅰ）由题意，可知， ∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴甲学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 而乙学校的合格率为．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴甲、乙两校的合格率均为96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （Ⅱ）样本中甲校等级的学生人数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 而乙校等级的学生人数为4． ∴随机抽取3人中，甲校学生人数的可能取值为0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分      数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB=AC，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是正方形． （1）求证：A1B∥平面AC1D； （2）求证：CE⊥平面AC1D． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（1）设A1C∩AC1=0，根据O、D 分别为CA1、CB的中点，可得OD∥A1B．再利用直线和平面平行的判定定理证得A1B∥平面AC1D． （2）由题意可得三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，利用平面和平面垂直的性质可得AD⊥平面BCC1B1，可得AD⊥CE．再根据B1BCC1是正方形，D、E 分别为BC、BB1的中点，证得C1D⊥CE．从而利用直线和平面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC1D． 【解答】（1）证明：设A1C∩AC1=0，则由三棱柱的性质可得O、D 分别为CA1、CB的中点，∴OD∥A1B． ∵A1B?平面AC1D，OD?平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D． （2）证明：由BB1⊥平面ABC，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∵AB=AC，∴AD⊥BC． 由平面ABC⊥平面BCC1B1，AD?平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，可得AD⊥平面BCC1B1． 又CE?平面BCC1B1，故有AD⊥CE． ∵B1BCC1是正方形，D、E 分别为BC、BB1的中点，故有C1D⊥CE． 这样，CE垂直于平面AC1D内的两条相交直线AD、C1E，∴CE⊥平面AC1D． 【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，属于基础题． 20.     甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：     ①连续竞猜3次，每次相互独立；     ②每次竟猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已 知,若，则本次竞猜成功；    ③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖   (I)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；    (Ⅱ)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎 记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望 参考答案： 略 21. 已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|x2﹣3x≤10} （1）若a=3，求（?RP）∩Q； （2）若P?Q，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】1H：交、并、补集的混合运算；18：集合的包含关系判断及应用． 【分析】（1）由a=3，先求出集合P和Q，然后再求（CRP）∩Q． （2）若P≠Q，由P?Q，得，当P=?，即2a+1＜a+1时，a＜0，由此能够求出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）因为a=3，所以P={x|4≤x≤7}，CRP={x|x＜4或x＞7}又Q={x|x2﹣3x﹣10≤0}={x|﹣2≤x≤5}， 所以（CRP）∩Q={x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x＜4} （2）若P≠Q，由P?Q，得，解得0≤a≤2 当P=?，即2a+1＜a+1时，a＜0，此时有P=??Q 综上，实数a的取值范围是：（﹣∞，2] 22. 已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点、. （1）写出圆的直角坐标方程； （2）求的值. 参考答案： （1）由，得    ，， 即， 即圆的直角坐标方程为； （2）由点的极坐标得点直角坐标为， 将代入消去、，整理得， 设、为方程的两个根，则， 所以. 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理   略