云南省昆明市安宁第一中学高一数学理联考试题含解析

云南省昆明市安宁第一中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数满足，则的解析式是 （    ） A．         B．       C．            D 参考答案： B  解析：由，于是 2. 已知M=x2﹣3x+7，N=﹣x2+x+1，则（　　） A．M＜N B．M＞N C．M=N D．M，N的大小与x的取值有关 参考答案： B 【考点】不等式比较大小． 【分析】通过作差求出M﹣N＞0，从而比较出其大小即可． 【解答】解：∵M﹣N=x2﹣3x+7+x2﹣x﹣1=2（x2﹣2x+3）=2（x﹣1）2+4＞0， 故M＞N， 故选：B． 3. 如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 【考点】直线的一般式方程． 【专题】计算题． 【分析】先把Ax+By+C=0化为y=﹣，再由AC＜0，BC＜0得到﹣，﹣，数形结合即可获取答案 【解答】解：∵直线Ax+By+C=0可化为， 又AC＜0，BC＜0 ∴AB＞0，∴， ∴直线过一、二、四象限，不过第三象限． 故答案选C． 【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的斜截式的互化，以及学生数形结合的能力，属容易题 4. 集合，集合，则的关系是（    ）  A.         B.        C.           D.  参考答案： A 5. 若函数，则对任意实数，下列不等式总成立的是 A．      B． C．      D． 参考答案： A 6. 在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，则?=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 参考答案： A 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】首先利用余弦定理求出角A，然后利用平面向量的数量积公式解答即可． 【解答】解：在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=4，所以cosA=， 所以与的夹角的余弦值为， 则?=|AC||AB||cosA|=2×3×=； 故选：A． 7. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A． 　   B．     C． 　 D． 参考答案： B 8. 偶函数y=f（x）满足下列条件①x≥0时，f（x）=x3；②对任意x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥8f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣] B．[﹣] C．[﹣2，] D．[﹣] 参考答案： A 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据f（x）为偶函数便可得到f（|x+t|）≥8f（|x|），从而有|x+t|3≥8|x|3，从而得到|x+t|≥2|x|，两边平方便有（x+t）2≥4x2，经整理便可得到3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t，t+1]上恒成立，这样只需3（t+1）2﹣2t（t+1）﹣t2≤0，解该不等式即可得出实数t的取值范围． 【解答】解：根据条件得：f（|x+t|）≥8f（|x|）； ∴（|x+t|）3≥8（|x|）3； ∴（|x+t|）3≥（2|x|）3； ∴|x+t|≥2|x|； ∴（x+t）2≥4x2； 整理得，3x2﹣2tx﹣t2≤0在[t，t+1]上恒成立； 设g（x）=3x2﹣2tx﹣t2，g（t）=0； ∴g（t+1）=3（t+1）2﹣2t（t+1）﹣t2≤0； 解得t； ∴实数t的取值范围为（﹣∞，﹣]． 故选：A． 【点评】考查偶函数的定义，y=x3的单调性，不等式的性质，并需熟悉二次函数的图象． 9. 下列函数中与函数相等的函数是（    ） A．     B．       C．      D． 参考答案： D 10. 如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 参考答案： B 【考点】9V：向量在几何中的应用． 【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定﹣=，判断与∠BAC的角平分线的关系推出选项． 【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量， ∴+的方向与∠BAC的角平分线重合， 又∵可得到﹣==λ（+） ∴向量的方向与∠BAC的角平分线重合， ∴一定通过△ABC的内心 故选B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为　　　　　 参考答案： 或 12. 已知函数在定义域上是增函数，且 则的取值范围是               。 参考答案： （2,3） 13. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,16)，则函数f(x)的解析式是        。 参考答案： y=x4 略 14. 不等式的解为             ． 参考答案： 15. 函数的单调增区间为                       .  参考答案： 略 16. 已知函数， 若函数 有两个不同的零点，则实数k的取值范围是       . 参考答案： 17. （3分）已知函数f（x）=，则f（f（1））=        ． 参考答案： ﹣1 考点： 函数的值． 专题： 计算题． 分析： 根据函数解析式先求出f（1）的值，再求出f（f（1））的值． 解答： 解：由题意得，f（1）=3﹣1=2， 所以f（f（1））=f（2）=2﹣3=﹣1， 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查分段函数的函数值，对于多层函数值应从内到外依次求值，注意自变量对应的范围． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. .已知函数y= （A＞0, ＞0,）的最小正周期为， 最小值为-2，图像过（，0），求该函数的解析式。 参考答案：   解： ，    （3分）       又，                   （5分）      所以函数解析式可写为ks5u 又因为函数图像过点（，0），  所以有：   解得  （7分）    （少一个扣4分）            （12分） 所以，函数解析式为： （14分） 略 19. 已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=． （1）求cos（α﹣β）的值  （2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cosβ=，求sinα． 参考答案： 【考点】两角和与差的余弦函数． 【分析】（1）利用两个向量坐标形式的运算，两角差的余弦公式求得cos（α﹣β）的值． （2）由条件求得 sin（α﹣β）、sinβ的值，再根据sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ 计算求得结果． 【解答】解：（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）， |﹣|===． ∴cos（α﹣β）=． （2）由（1）得，， ∴，∴sin（α﹣β）==， 又∵cosβ=，∴sinβ=﹣=﹣． ∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ =+=． 20. 已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x+1（a∈R）． （1若关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}，求a，m的值； （2）设关于x的不等式f（x）≤0的解集是A，集合B={x|0≤x≤1}，若 A∩B=?，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】3W：二次函数的性质． 【分析】（1）应用一元二次不等式和方程的关系结合根与系数的关系得到关于a，m的方程组，求出a，m的值即可； （2）问题转化为a+1＜x+对于x∈（0，1]恒成立（当x=0时，1＞0恒成立）；求出a的范围即可． 【解答】解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集是{x|m＜x＜2}， ∴对应方程x2﹣（m+1）x+1=0的两个实数根为m、2， 由根与系数的关系，得，解得a=，m=； （2）∵关于x的不等式f（x）≤0的解集是 A， 集合B={x|0≤x≤1}，当 A∩B=φ时，即不等式f（x）＞0对x∈B恒成立； 即x∈时，x2﹣（a+1）x+1＞0恒成立， ∴a+1＜x+对于x∈（0，1]恒成立（当x=0时，1＞0恒成立）； ∵当x∈（0，1]时， ∴a+1＜2，即a＜1，∴实数a的取值范围是{a|a＜1}． 21. 已知数列{an}、{bn}，其中， ，数列{an}满足,，数列{bn}满足． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）是否存在自然数m，使得对于任意有恒成立？若存在,求出m的最小值； （3）若数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）由，即，． 又，所以 .   ……………………2分 当时，上式成立，故……………………3分 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 故.  ……………………5分 (2) 由（1）知，则 .……………………7分 假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得． ……………………9分 所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时， 的最小值为16.  ……………………………………10分 （3）当为奇数时， ；………………13分 当为偶数时， .    ………………15分 因此 ………………16分   22. 函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． （1）求ω的值及函数f（x）的值域； （2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】（1）变形可得f（x）=2sin（ωx+），由又由三角形的知识和周期公式可得ω=，由振幅的意义可得值域； （2）由已知和（1）的解析式可得sin（x0+）=，进而由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（x0+）=，代入f（x0+1）=2sin（x0++）=2× 计算可得． 【解答】解：（1）由已知得f（x）=6cos2+sinωx﹣3 =3cosωx+sinωx=2sin（ωx+） 又△ABC为正三角形，且高为2，可得BC=4． ∴函数f（x）的最小正周期为8，即=8， 解得ω=，∴f（x）=2sin（x+）， ∴函数f（x）的值域为：； （2）∵f（x0）=， ∴2sin（x0+）=， 故sin（x0+）=， ∵x0∈（﹣，），∴x0+∈（﹣，）， ∴cos（x0+）== ∴f（x0+1）=2sin（x0++） =2× =