2022-2023学年广东省广州市从化第三中学（从化三中）高一数学文月考试卷含解析

2022-2023学年广东省广州市从化第三中学（从化三中）高一数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则的值是（   ）ks5u A.0                  B.2                 C.3                    D.6 参考答案： A 2. 已知向量=（1，x﹣1），=（y，2），若向量，同向，则x+y的最小值为（　　） A． B．2 C．2D．2+1 参考答案： C 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】由已知得xy﹣y﹣2=0，y≥0，x﹣1≥0，从而得到（x+y）2≥4y+8≥8，由此能求出x+y的最小值． 【解答】解：∵向量=（1，x﹣1），=（y，2），向量，同向， ∴，整理得：xy﹣y﹣2=0， ∵向量，同向，∴y≥0，x﹣1≥0， ∴y+2=xy≤， ∴（x+y）2≥4y+8≥8， ∴x+y≥． 故选：C． 　 3. 已知0＜＜1，＜-1，则函数的图象必定不经过（   ）   A. 第一象限       B. 第二象限        C. 第三象限       D. 第四象限 参考答案： A 4. 设是上的奇函数，且，当时，， 则等于（    ） A.              B.            C.               D.   参考答案： B 略 5. 的值是（   ）     A.           B.－             C.                D.－ 参考答案： D 6. 如图, 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0, |φ|＜)的图象过点(, 0)和(0, ), 可将y=f(x)的图象向右平移（　　）单位后, 得到一个奇函数. A. B. C. D. 参考答案： B 略 7. 设集合，，则（    ）   A．                             B．                   C．                        D． 参考答案： A 8. △ABC的三个内角分别记为A，B，C，若tanAtanB=tanA+tanB+1，则cosC的值是（　　） A．﹣ B． C． D．﹣ 参考答案： B 【考点】两角和与差的正切函数． 【分析】利用两角和与差的正切函数公式表示出tan（A+B），将已知等式变形后代入并利用诱导公式求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数． 【解答】解：∵tanAtanB=tanA+tanB+1， ∴tanA+tanB=﹣1+tanAtanB， ∵tan（A+B）==﹣1=tan（π﹣C）=﹣tanC， ∴tanC=1， ∵C为三角形的内角 ∴C=， ∴cosC=， 故选：B． 【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 9. 若=（2，1），=（﹣1，3），则=（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 参考答案： B 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】利用平面向量的数量积公式求解． 【解答】解：∵=（2，1），=（﹣1，3）， ∴=﹣2+3=1． 故选：B． 10. 给出以下命题：　   ①若、均为第一象限角，且，且； ②若函数的最小正周期是，则；　 ③函数是奇函数； ④函数的周期是　 ⑤函数的值域是 其中正确命题的个数为： A． 3      B． 2    C． 1      D． 0 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f (x) = x2 + (a – 1)x + 2在(–∞，4]上是减函数，则常数a的取值范围是      ． 参考答案： (–∞，–3] 12. 已知sin2α﹣2cos2α=2（0＜α＜），则tanα=　 　． 参考答案： 2 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得tanα的值． 【解答】解：知sin2α﹣2cos2α===2（0＜α＜）， 则tanα=2， 故答案为：2． 13. 设为数列的前n项和,则_______. 参考答案： 14. 已知集合A= ，B= ,若BA，则m=              ； 参考答案： 略 15. 函数y＝ax在[0，1]上的最大值和最小值的和为3，则a＝       参考答案： 2 16. 方程有两个不同的解，则的取值范围是 参考答案： a<1,或a=5/4 17. 设函数f（x）为R上奇函数，且当x≥0时的图象如图所示，则关于x的不等式f（x﹣2）＞0的解集是　    　． 参考答案： （﹣∞，﹣1）∪（2，5） 【考点】函数的图象． 【分析】先根据函数为奇函数和函数的图象得到f（x）＞0的解集，再根据图象的平移即可求出答案． 【解答】解：函数f（x）为R上奇函数，且当x≥0时的图象如图所示， 当f（x）＞0时，解得0＜x＜3，或x＜﹣3， 其解集为（0，3）∪（﹣∞，﹣3） y=f（x﹣2）的图象是由y=f（x）的图象向右平移2个单位得到的， ∴不等式f（x﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，5）， 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，5） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）在平面直角坐标系xoy中，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且满足?=﹣1 （1）求点P，Q的坐标； （2）求cos（α﹣2β）的值． 参考答案： 考点： 平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数． 专题： 三角函数的求值；平面向量及应用． 分析： （1）利用向量的数量积和倍角公式即可求出； （2）利用倍角公式、三角函数的定义及两角差的余弦公式即可求出． 解答： （1）∵点P（1，2cos2θ），点Q（sin2θ，﹣1）， ∴=（1，2cos2θ），=（sin2θ，﹣1）， ∵?=﹣1 ∴sin2θ﹣2cos2θ=﹣1． ∴（1﹣cos2θ）﹣（1+cos2θ）=﹣1， 解得cos2θ=， ∵2cos2θ=1+cos2θ=， ∴P（1，）， ∵sin2θ=（1﹣cos2θ）=， ∴Q（，﹣1） （2）∵|OP|=，|0Q|=， ∴sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=， ∴sin2β=2sinβcosβ=﹣，cos2β=2cos2β﹣1=﹣ ∴cos（α﹣2β）=cosαcos2β+sinαsin2β==﹣ 点评： 本题考查了向量的数量积、三角函数的定义及两角差的余弦公式、倍角公式，属于中档题 19. 在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. （1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和 3个白球的袋中一次取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （2）若甲计划在之间赶到，乙计划在之间赶到，求甲比乙提前到达的概率. 参考答案： 解：（1）不妨设个红球分别为，，个白球分别为，，，从中取出个球，有： ，，，，，，，，，. 共种情况. 其中两个球同色的情况有：，，，. 共种情况. 记“取到同色球”为事件，则其概率为. （2）设甲乙到达的时刻分别为，，则可以看成平面中的点，全部结果所构成的区域为： . 设甲比乙先到为事件，甲比乙先到所构成的区域为： . .   20. 下面一组图形为P－ABC的底面与三个侧面．已知AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC. (1)写出三棱锥P－ABC中的所有的线面垂直关系(不要求证明)； (2)在三棱锥P－ABC中，M是PA上的一点， 求证：平面ABC⊥平面PAB； (3)在三棱锥P－ABC中，M是PA的中点，且PA＝BC＝3，AB＝4，求三棱锥P－ABC的体积． 参考答案： (1)如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥平面PAB. (2)∵PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC＝A， ∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵BC⊥AB，且PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB. 又BC?平面ABC. ∴平面ABC⊥平面PAB. (3)法一：∵PA＝3，M是PA的中点，∴MA＝． 又∵AB＝4，BC＝3. ∴VM－ABC＝S△ABC·MA＝××4×3×＝3， 又VP－ABC＝S△ABC·PA＝××4×3×3＝6， ∴VP－MBC＝VP－ABC－VM－ABC＝6－3＝3. 法二：∵PA＝3，AB＝4，M是PA的中点， ∴S△PBM＝S△PAB＝××3×4＝3. 又∵BC⊥平面PAB，且BC＝3， ∴VP－MBC＝VC－PBM＝S△PBM·BC＝×3×3＝3. 21. 已知f（x）是定义在R上的奇函数且f（-2）=-3，当x≥0时，f（x）=ax-1，其中a＞0且a≠1． （1）求的值； （2）求函数f（x）的解析式； （3）已知g（x）=log2x，若对任意的x1∈[1，4]，存在使得f（mx1）+1≥g（x2）（其中m≥0）成立，求实数m的取值范围． 参考答案： （1）0；（2）；（3） 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的性质可得=0，即可得答案； （2）根据题意，由函数的奇偶性可得f（2）=3，结合函数的解析式可得f（2）=a2-1=3，解可得a=2，解可得当x≥0时，f（x）=2x-1，当x＜0时，结合函数的奇偶性与解析式分析可得f（x）=-f（-x）=-2-x+1，综合可得答案； （3）根据题意，由函数的解析式分析可得x1∈[1，4]时，f（mx1）的取值范围和当时，g（x2）的取值范围，结合题意可得2m≥，解可得m的取值范围，即可得答案． 【详解】（1）根据题意，f（x）为奇函数，即有f（x）+f（-x）=0， 则=0， （2）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数且f（-2）=-3，则f（2）=3， 又由当x≥0时，f（x）=ax-1，则f（2）=a2-1=3，解可得a=2， 则当x≥0时，f（x）=2x-1， 当x＜0时，-x＞0，f（-x）=2-x-1， 则f（x）=-f（-x）=-2-x+1， 故f（x）=； （3）任意的x1∈[1，4]，当m＞0，有mx1＞0，则f（mx1）+1=， 则有2m≤f（mx1）+1≤24m， 当时，则g（x2）=log2x2，则有≤g（m）≤1+log23， 若对任意的x1∈[1，4]，存在使得f（mx1）+1≥g（x2）， 则有2m≥，解可得m≥log23-1， 即m的取值范围为[log23-1，+∞） 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值问题，属于基础题． 22. (本小题满分12分) 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在是减函数，在是增函数。 (1)已知利用上述性质，试求函数在的值域和单调区间； (2)由(1)中的函数和函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： (1)令   则  依题可知：在区间单调递减，在区间单调递增。 所以的值域为； 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 依题可知，恒成立等价于在恒成立 设 令   则  所以