2022-2023学年广东省广州市造船厂中学高三数学文月考试卷含解析

2022-2023学年广东省广州市造船厂中学高三数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），则下列说法正确的是(     ) A．f（x）的最小正周期为2π B．f（x）的图象关于点对称 C．f（x）的图象关于直线对称 D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象 参考答案： C 【考点】二倍角的余弦． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】利用二倍角公式化简可得f（x）=sin（2x+）+1，由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可． 【解答】解：∵f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1， ∴f（x）的最小正周期为，A错误； 由f（﹣）=sin0+1=1，B错误； 由f（）=sin+1=1，C正确； f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=cos（2x+）+1，不为偶函数，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题． 2. 直线与圆的位置关系是（　 ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 参考答案： B 3. 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为 A.             B.        C.             D. 参考答案： C 4. 已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，M为该三角形所在平面内的一点，若a＋b＋c＝，则M是△ABC的 A．内心　　　   B．重心　　　    C．垂心　　　　  D．外心 参考答案： 【知识点】平面向量及应用．F2 A  解析：M是三角形ABC的内心． 理由如下：已知a+b+c=，延长CM交AB于D， 根据向量加法得： =+，=+， 代入已知得：a（+）+b（+）+c=， 因为与共线，所以可设=k， 上式可化为（ka+kb+c）+（ a+b）=， 由于与共线，与、不共线， 所以只能有：ka+kb+c=0，a+b）=， 由a+b=可知：与的长度之比为， 所以由内角平分线定理的逆定理可得CD为∠ACB的平分线， 同理可证AM，BM的延长线也是角平分线．故M为内心． 故选A． 【思路点拨】延长CM交AB于D，根据向量加法得：=+，=+，代入已知得：a（+）+b（+）+c=，由两不共线的向量的和为零向量的结论：已知，不共线，若x+y=，则x=y=0，再由内角平分线的判定定理的逆定理，得到CD为角平分线，同理可得AM，BM的延长线也是角平分线．即可判断M为内心． 5. 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①DE与MN平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的个数是（    ） A． 1        B．  2     C.  3       D．4 参考答案： C 分析：正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF， ①，依题意，MN∥AF，而DE与AF异面，从而可判断DE与MN不平行； ②，假设BD与MN共面，可得A、D、E、F四点共面，导出矛盾，从而可否定假设，肯定BD与MN为异面直线； ③，依题意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判断GH与MN成60°角； ④，连接GF，那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上，通过线面垂直得到线线垂直． 详解：将正四面体的平面展开图复原为正四面体A（B、C）﹣DEF，如图： 对于①，M、N分别为EF、AE的中点，则MN∥AF，而DE与AF异面，故DE与MN不平行，故①错误； 对于②，BD与MN为异面直线，正确（假设BD与MN共面，则A、D、E、F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面）； 对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确； 对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF， 而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②③④， 故答案为：②③④．   6. 已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M,N关于原点对称，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案 【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称， 则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点， 即方程有解， 即有解， 令， 则， 当时，， 当，，故， 由，， 故当时， 故的取值范围为. 故选：B. 【点睛】本题考查了图象的对称性，以及运用导数求函数的单调区间，极值的求解，在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围． 7. 偶函数在区间[0,]（）上是单调函数，且，则方程 在区间[－，]内根的个数是     A．3          B． 2                          C．1                            D．0 参考答案： 答案：B 8. 已知公比不为1的等比数列的首项为1，若成等差数列，则数列 的前5项和为(    )   A.       B.       C. 121      D. 31 参考答案： A 9. 函数在区间上的最小值是   A．-l    B．   C．   D．0 参考答案： C 10. 己知集合，则满足条件的集合P的个数是（    ）        A．3                            B．4                            C． 7                          D．8 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式有解，那么实数m的取值范围是_____ 参考答案： 【分析】 分，和三种情况讨论，求得的最小值，即可得到本题答案. 【详解】设， 当时，； 当时，； 当时，； 可知在单调递减，在单调递增，单调递增， 所以，， 又有解的等价条件为，即， 所以m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查绝对值不等式能成立的问题. 12. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是          ，实数的取值范围是            ． 参考答案：   ,   13. 已知函数f（x）=3x﹣1，g（x）=x2﹣2x﹣1，若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则b是取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，0）∪（2，+∞） 【考点】二次函数的性质． 【分析】若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则g（b）属于函数f（x）的值域，进而得到答案． 【解答】解：函数f（x）=3x﹣1∈（﹣1，+∞）， 若存在实数a、b使得f（a）=g（b）， 则g（b）=b2﹣2b﹣1＞﹣1， 解得：b∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞） 14. 如图：在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，用，表示，则=          ． 参考答案： 考点：向量加减混合运算及其几何意义． 专题：平面向量及应用． 分析：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB，得到DE是△BDC的中线，利用中线的性质可得． 解答： 解：因为在梯形ABCD中，AD∥BC且，AC与BD相交于O，设，，过D作DE∥AB， 则E是BC的中点，， 所以﹣2， 所以=． 故答案为：． 点评：本题考查了向量的三角形法则、共线的性质以及三角形中线的向量表示，注意运算． 15. 过抛物线的焦点，且被圆截得弦最长的直线的方程是_____________ 参考答案： x+y-1=0  略 16. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列．则数列{an}的通项公式为　　． 参考答案： an=2n 【考点】等差数列的通项公式． 【分析】数列{an}是公差d≠0的等差数列，由a2，a4，a8成等比数列，可得=a2a8，利用等差数列通项公式代入解出d即可得出． 【解答】解：数列{an}是公差d≠0的等差数列， ∵a2，a4，a8成等比数列， ∴=a2a8， ∴（2+3d）2=（2+d）（2+7d）， 化为2d2﹣4d=0， 解得d=2或d=0（舍）． ∴an=2+2（n﹣1） =2n． 故答案为：an=2n． 17. 意大利数学家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，即F（1）=F（2）=1，F（n）=F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn}，b2017=　   　． 参考答案： 1 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】由题意可得数列从第三项开始，后一项为前两项的和，再分别除以3得到一个新的数列，该数列的周期为8，即可求出答案． 【解答】解：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…， 此数列被3整除后的余数构成一个新数列{bn}， 则{bn}，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，…， 其周期为8， 故b2017=b227×8+1=b1=1， 故答案为：1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ），使得，求实数的取值范围． 参考答案： （Ⅰ） 2分 等价于 3分 综上,原不等式的解集为 5分 （Ⅱ） 7分 由(Ⅰ)知 所以， 9分 实数的取值范围是 10分 19. 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.： 天数t 病毒细胞总数N 1 2 3 4 5 6 7 … 1 2 4 8 16 32 64 … 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%． （1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天） （2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天） （已知lg2=0.3010）     参考答案： 1）由题意病毒细胞关于时间n的函数为, 则由 两边取对数得    n27.5,             即第一次最迟应在第27天注射该种药物.                                       （6分） （2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为, 再经过x天后小白鼠体内病毒细胞为, 由题意≤108，两边取对数得 ，            故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．  20. （满分10分）《选修4-5：不等