浙江省宁波市三山中学高二数学理月考试卷含解析

浙江省宁波市三山中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数是纯虚数，则= A．          B．1           C．      D． 参考答案： D 略 2. 在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是（   ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线 参考答案： A 【分析】 先将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后进行伸缩变换，由此判断所得曲线是什么曲线. 【详解】由得，即，由得，代入得，即，表示的曲线为圆，故选A. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查伸缩变换等知识，属于基础题. 3. 参考答案： B 略 4. 若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是(    ) A.(,+∞)    B.(－∞,)     C. [,+∞)    D. (－∞,] 参考答案： C 5. 圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆（x﹣7）2+（y﹣1）2=36的位置关系是（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．外离 参考答案： A 【考点】圆与圆的位置关系及其判定． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】将圆的方程分别化为标准方程，找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，可得出d=R﹣r，可得出两圆内切． 【解答】解：将圆x2+y2﹣6x+4y+12=0化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+2）2=1， 又，（x﹣7）2+（y﹣1）2=36， ∴圆心坐标分别为（3，﹣2）和（7，1），半径分别为r=1和R=6， ∵两圆心距d==5， ∴d=R﹣r， 则两圆的位置关系是内切． 故选：A． 【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，圆与圆的位置关系可以由圆心距d与R及r的关系来判定，当d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离． 6. 已知a,b,c∈R,下列命题中正确的是（    ） A．              B． C．              D． 参考答案： B 略 7. 已知过双曲线Г： =1（a＞0，b＞0）的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线Г的左支交于点A，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程是（　　） A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设切点为M，连接OM，运用切线的性质，以及中位线定理，可得AF1=2a，由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a，再由勾股定理，可得c2=5a2，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程． 【解答】解：设切点为M，连接OM， 可得OM⊥AF2， AF1⊥AF2，可得AF1∥OM， 且OM=a，AF1=2a， 由双曲线的定义，可得AF2=2a+AF1=4a， 在直角三角形AF1F2中， AF12+AF22=F1F22， 即为4a2+16a2=4c2， 即有c2=5a2， 由c2=a2+b2，可得b=2a， 可得双曲线的渐近线方程为y=±x， 即为y=±2x． 故选：A． 8. 若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 参考答案： D 略 9. 不等式成立的必要不充分条件是 （   ） A．             B．    C．            D． 参考答案： C 10. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（　　） A．0 B． C． D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z=          ． 参考答案： ， ，故答案为.   12. 命题“”的否定是                      参考答案： 13. 如果执行右边的程序框图，那么输出的   ▲    ． 参考答案： 110 略 14. 已知点满足，则的取值范围是____▲____． 参考答案： 略 15. （几何证明选讲选做题）如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为________． 参考答案：  2 设圆的半径为R,由得解得R=2． 16. 已知（﹣）n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于　　． 参考答案： 15 【考点】二项式系数的性质． 【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值． 【解答】解：（﹣）n的展开式中只有第四项的二项式系数最大所以n=6． 其通项公式Tr+1=C6r?（﹣1）r?x， 令﹣6=0，求得r=4，可得展开式中的常数项为C64?（﹣1）4=15， 故答案为：15． 17. 课外阅读所用时间的数据，结果用如右图所示的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________． 参考答案： 0.9 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切. （Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程； （Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求｜MN｜的最小值. 参考答案： （Ⅰ）设动圆P的半径为，则│PA│＝，│PB│=, ∴│PA│－│PB│=2.         ………………………………………3分           故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 其方程为（≥1）.          ………………………………………5分 （Ⅱ）(1)设MN的方程为，代入双曲线方程，得 . 由，解得.  ………………………………………8分 设,则 .………………………10分 当时,.               ………………………………………12分 19. 已知复数，求及. 参考答案： 解：                        …4分 ∴，                                                                                 …2分 。                                                                …2分 略 20. 已知圆C的圆心坐标为(2,0), 直线与圆C交于点M, P, 直线与圆C交于点N, Q, 且M, N在x轴的上方. 当时, 有.   (1) 求圆C的方程; (2) 当直线PQ的斜率为时, 求直线MN的方程. 参考答案： 21. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】解三角形． 【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数； （2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值． 【解答】解：（1）由正弦定理得： a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 将上式代入已知， 即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0， 即2sinAcosB+sin（B+C）=0， ∵A+B+C=π， ∴sin（B+C）=sinA， ∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0， ∵sinA≠0，∴， ∵B为三角形的内角，∴； （II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得： b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即， ∴ac=3， ∴． 22. 已知函数. （1）讨论f(x)在(1,+∞)上的单调性； （2）若对恒成立，求正整数a的最小值. 参考答案： （1）， 当时，在上单调递增. 当或时，，在单调递减. 当且时，令，得； 令，得. ∴在上单调递增，在上单调递减. （2）∵对恒成立. ∴，解得或， 则正整数的最小值为. 下面证明当时，对恒成立，过程如下： 当时， 令，得； 令，得. 故， 从而对恒成立. 故整数的最小值为5.