2022年上海市师资培训中心实验基地附属中学高二数学理上学期期末试题含解析

2022年上海市师资培训中心实验基地附属中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是 （    ） A． 或  B．   C．或   D． 参考答案： C 略 2. 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，已知，，，则用向量，，可表示向量为（　　） A．++B．﹣++ C．﹣+ D．﹣+﹣ 参考答案： B 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】平面向量及应用；空间向量及应用． 【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出． 【解答】解： ===﹣． 故选：B． 【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则，属于基础题． 3. 已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的两点.若线段的中点到 轴的距离为,则 （　　） A．2 B． C．3 D．4 参考答案： C 4. 设p、q是简单命题，则“p或q是假命题” 是 “非 p为真命题”的（    ）   A． 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件   C. 充要条件   D. 非充分非必要条件 参考答案： A 5. 与的大小关系是. A． ；             B． ；     C． ；             D．无法判断. 参考答案： B 6. 原点和点（     ） A.    B.    C.   D.  参考答案： B 略 7. 不等式的解集为 （      ） A.                B.  C.            D. 参考答案： A 8. 过原点作圆（为参数）的两条切线，则这两条切线所成的锐角为 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 将参数方程化为普通方程，可得圆心与原点之间距离和半径，先求解出一条切线与轴所成角，再得到所求角. 【详解】由得圆的方程为： 则半径为：3；圆心与原点之间距离为： 设一条切线与轴夹角为，则    根据对称性可知，两条切线所成锐角为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直线与圆位置关系中的相切关系，关键在于能够通过相切的条件，得到半角的正弦值. 9. 实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（　　） A．1.4 B．1.9 C．2.2 D．2.9 参考答案： D 【考点】线性回归方程． 【分析】根据五组（x，y）的值计算、，利用线性回归方程过样本中心点求出的值． 【解答】解：根据五组（x，y）的值，计算 =×（1+2+3+4+5）=3， =×（2+4+4+7+8）=5， 且线性回归方程=0.7x+过样本中心点， 则=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9． 故选：D． 10. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(1,4)    B．(0,3)      C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 参考答案： C f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)， 由f′(x)>0，得x>2. ∴f(x)在(2，＋∞)上是递增的． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 参考答案：   [－1,0]      12. 数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥  1),则a5=      参考答案： 256， 略 13. 设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为           _. 参考答案：   14. 已知直线交抛物线于、两点，则△(     ) A．为直角三角形    B．为锐角三角形     C．为钝角三角形    D．前三种形状都有可能 参考答案： A 略 15. .过双曲线：的右顶点A作斜率为1的直线，分别与两渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为          . 参考答案： 或  略 16. 已知点，，直线上有两个动点M,N，始终使，三角形的外心轨迹为曲线C，P为曲线C在一象限内的动点，设,,,则（     ） A、             B、 C、            D、 参考答案： C 略 17. 若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x=　  　． 参考答案： 2 【考点】复数相等的充要条件． 【分析】化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得． 【解答】解：∵（x+i）i=﹣1+2i， ∴﹣1+xi=﹣1+2i， 由复数相等可得x=2 故答案为：2 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）如图，在六面体中，，，． 求证：（1）； （2）． 参考答案： 19. 已知函数，锐角A为△ABC的一个内角. （1）求f(A)的取值范围； （2）当f(A)取最大值时，若a=2，求△ABC中线AD的范围. 参考答案： 20. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=anxn（x∈R），求数列{bn}前n项和的公式． 参考答案： 【考点】等差数列的通项公式；数列的求和． 【分析】（1）本题是一个数列的基本量的运算，根据题目所给的首项和前连续三项的值，写出关于公差的方程，解方程可得结果． （2）构造一个新数列，观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的，这种结构要用错位相减法求的结果，解题时注意等比数列的公比与1的关系，进行讨论． 【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d， 则a1+a2+a3=3a1+3d=12． 又a1=2，得d=2． ∴an=2n． （2）当x=0时，bn=0，Sn=0， 当x≠0时，令Sn=b1+b2+…+bn， 则由bn=anxn=2nxn，得 Sn=2x+4x2++（2n﹣2）xn﹣1+2nxn，① xSn=2x2+4x3++（2n﹣2）xn+2nxn+1．② 当x≠1时，①式减去②式，得 （1﹣x）Sn=2（x+x2++xn）﹣2nxn+1 =﹣2nxn+1． ∴Sn=﹣． 当x=1时，Sn=2+4++2n=n（n+1）． 综上可得，当x=1时，Sn=n（n+1）； 当x≠1时，Sn=﹣． 21. 已知离心率为的椭圆E：与圆 C：交于两点，且，在上方，如图所示， （1）求椭圆E的方程；（5分） （2）是否存在过交点，斜率存在且不为的直线，使得该直线截圆C和椭圆E所得的弦长相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.（7分） 参考答案： （1）连接，由对称性知：轴，且关于y轴对称， 由已知条件求得------------2分 所以有：，，， 解得：-------------4分 ， 所以椭圆E：-------5分 （2）设过点的直线，-------6分 与椭圆的另一个交点为N，与圆的另一个交点 直线代入椭圆方程消去y得： 所以：，所以：， 同理：，-----------------8分 若直线截两种曲线所得到的弦长相等：则为中点， 所以有：，--------------9分 即：，化简整理有： ， 分解因式： 所以：，所以存在直线满足条件.------------12分 22. （B卷）某工厂生产甲乙两种产品，甲产品的一等品率为80％，二等品率为20％，乙产品的一等品率为90％，二等品率为10％，生产1件甲产品，若是一等品，则获得利润4万元，若是二等品，则亏损1万元，生产1件乙产品，若是一等品，则获得利润6万元，若是二等品，则亏损2万元，设生产各件产品相互独立， （1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列 （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 参考答案： (B卷）（1）由题可知，X的可能值为10,5,2，-3， , 所以X的分布列为： X 10 5 2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 (2)设生产的4件甲产品中一等品有n(n,且n)件，则二等品有（4-n)件，由题知， 4n-(4-n),解得n又n,得n=3或n=4