2022年福建省福州市闽侯县第四中学高二数学理联考试题含解析

2022年福建省福州市闽侯县第四中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.9                        B.10  C.11                      D. 参考答案： C 2. 读程序 甲：INPUT i=1        乙：INPUT  I=1000           S=0                   S=0 WHILE i≤1000         DO     S=S+i                      S=S+I     i=i+l                    I = I一1     WEND                  Loop UNTIL I<1     PRINT S               PRINT  S END                   END 对甲乙两程序和输出结果判断正确的是      (      ) A．程序不同结果不同                 B．程序不同，结果相同 C．程序相同结果不同                 D．程序相同，结果相同 参考答案： B 3. 已知为虚数单位,则的实部与虚部的乘积等于(    ) A.              B.              C.              D. 参考答案： A 4. 已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下： 且回归方程是的预测值为                     (     ) A．8.1 B．8.2 C．8.3 D．8.4 参考答案： C 5. 设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（　　） A．B?A B．B?A C．B∈A D．A∈B 参考答案： A 【考点】18：集合的包含关系判断及应用． 【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可． 【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}． ∴B?A， 故选A 6. 下列结论不正确的是 (　  ) A．若，则               B．若，则   C．若，则         D．若，则 参考答案： D 略 7. 对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（　　） A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m?α，n∥α，则m∥n D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n 参考答案： C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断B； 由线面平行的定义和性质，再由m，n共面，即可判断C；由线面角的定义和线线的位置关系，即可判断D． 【解答】解：由于直线m、n共面， 对于A．若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，故A错； 对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错； 对于C．若m?α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对； 对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错． 故选C． 【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题和易错题． 8. 有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是 A. 37    B. 27    C. 17    D. 12 参考答案： B 9. 若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（　　） 　 A． 6 B． 8 C． 10 D． 12 参考答案： A 略 10. 相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的射影所成的角是                  （     ） A．30°           B．45°         C．60°       D．90° 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，，则的值 ________． 参考答案： 【分析】 由角平分线定理可得，，则有，将代入化简即可求得结果. 【详解】如图，在中，，角的平分线与边上的中线交于点， 由角平分线定理可得，，则， 即有， ， 解得. 所以本题答案为. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用，利用基底向量表示目标向量是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 12. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm,则该球 的体积是       cm 参考答案： 略 13. 如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为            参考答案： 14. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状一定是__________． 参考答案： 直角三角形 【分析】 运用降幂公式和正弦定理化简，然后用,化简得到 ，根据内角的取值范围，可知，可以确定，最后可以确定三角形的形状. 【详解】由正弦定理， 而， ，所以的形状一定是直角三角形.   15. 若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________________． 参考答案： x2＋y2－4x－2y＝0 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴由互化公式知x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0. 16. 以AB为直径的半圆，||=2，O为圆心，C是上靠近点A的三等分点，F是上的某一点，若∥，则?=　     　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】可以点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并连接OC，根据条件可得出∠COA=∠FOB=60°，并且OC=OF=1，这样即可求出点A，B，C，F的坐标，进而得出向量的坐标，从而得出的值． 【解答】解：以O为原点，OB所在直线为x轴， 建立如图所示平面直角坐标系： 连接OC，据题意，∠COA=60°； ∴∠CAO=FOB=60°； 且OC=OF=1； ∴； ∴； ∴． 故答案为：． 17. 已知P为双曲线上的动点，点M是圆（x+5）2+y2=4上的动点，点N是圆（x﹣5）2+y2=1上的动点，则|PM|﹣|PN|的最大值是　   　． 参考答案： 9 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最最大值． 【解答】9解：双曲线双曲线上的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0）， 则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的圆心，半径分别是r1=2，r2=1， ∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6， ∴|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1， ∴|PM|﹣|PN|的最大值=（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=6+3=9， |PM|﹣|PN|的最大值为9， 故答案为：9 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 为了迎世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：），能使整个矩形广告面积最小． 参考答案： 解析：设矩形栏目的宽为，则高为，整个矩形广告的面积为，由题意可得   =        当且仅当时等号成立。   19. (本小题满分10分)已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点． (1)证明：PF⊥FD； (2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD； (3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值． 参考答案： 试题分析：解法一（向量法） （I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD； （Ⅱ）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置； （Ⅲ）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案． (2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)， 由得 令z=1，解得：x=y=. ∴n=. 20. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=． （Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法． 【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD； （Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出|cosθ|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求． 【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形， ∴AD=DC，又AE=CF=， ∴，则EF∥AC， 又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD， ∴EF⊥DH，则EF⊥D′H， ∵AC=6， ∴AO=3， 又AB=5，AO⊥OB， ∴OB=4， ∴OH==1，则DH=D′H=3， ∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH， 又OH∩EF=H， ∴D′H⊥平面ABCD； （Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， ∵AB=5，AC=6， ∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0）， ，， 设平面ABD′的一个法向量为， 由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5． ∴． 同理可求得平面AD′C的一个法向量， 设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ， 则|cosθ|=． ∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=． 21. 在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点． （Ⅰ）求证：． （Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． （Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 参考答案： 见解析 （Ⅰ）证明：∵，是的中点， ∴， 又平面， ∴， ∵， ∴平面， ∴． （Ⅱ）以