湖北省黄冈市白湖中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析

湖北省黄冈市白湖中学2022-2023学年高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在等比数列中，，=24，则=（   ）    A．48             B．72              C．144           D．192 参考答案： D 略 2. 函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的解集为（）． A．或 B．或 C．或 D．且 参考答案： A 显然为奇数， ∴可等价转换为， 当时，． 当时， ∴， ． 当时，， ∴， 综上：或． 3. 圆外的点对该圆的视角为时，点的轨迹方程是   A.                   B. C.        D. 参考答案： D 4. 已知随机变量满足ξ～B（n,p），且E (ξ)=12，D (ξ)= ，则n和p分别为                                                     （ ） A.16与        B.20与        C.15与           D.15与 参考答案： C 5. 若等比数列的前项和，则 =     （     ） （A）0          （B）-1        （C）1          （D）3 参考答案： B 6. 命题“对任意的”的否定是（    ）    A．不存在 B．存在    C．存在     D．对任意的 参考答案： C 7. 椭圆=1的左、右顶点坐标为（　　） A．（±4，0） B．（0，±4） C．（±3，0） D．（0，±3） 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】利用椭圆方程求出a，然后求解左、右顶点坐标即可． 【解答】解：椭圆=1可得a=4，所以，椭圆=1的左、右顶点坐标为：（±4，0）． 故选：A． 8. △ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则sinB=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】正弦定理． 【分析】利用正弦定理求得sinB的值． 【解答】解：△ABC中，若a=1，b=2，sinA=， 则由正弦定理可得=， 即 =，∴sinB=， 故选：A． 9. 若，则k=(    ) A、 1        B、 0        C、  0或1      D、以上都不对 参考答案： C 10. 若圆与圆相交，则的取值范围是     (   ) A.       B.   C.         D. 或 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁，在某天的某个时刻，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印资料：（1）甲不在查资料，也不在写教案；（2）乙不在打印资料，也不在查资料；（3）丙不在批改作业，也不在打印资料；（4）丁不在写教案，也不在查资料.此外还可确定，如果甲不在打印资料，那么丙不在查资料，根据以上消息可以判断甲在_______． 参考答案： 打印材料 【分析】 结合条件（1），先假设甲在批改作业，再结合题中其它条件分析，推出矛盾，即可得出结果. 【详解】因为甲不在查资料，也不在写教案， 若甲在批改作业，根据“甲不在打印资料，那么丙不在查资料”以及“丙不在批改作业，也不在打印资料”得，丙在写教案；又“乙不在打印资料，也不在查资料”，则乙可能在批改作业或写教案，即此时乙必与甲或丙工作相同，不满足题意；所以甲不在批改作业； 因此甲在打印资料. 故答案为：打印材料 【点睛】本题主要考查简单的合情推理，结合题中条件直接分析即可，属于常考题型. 12. 双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程． 参考答案： 【考点】双曲线的标准方程． 【分析】求出椭圆的焦点坐标；据双曲线的系数满足c2=a2+b2；双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组，求出a，b，写出双曲线方程． 【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0） 由椭圆+=1，求得两焦点为（﹣2，0），（2，0）， ∴对于双曲线C：c=2． 又y=x为双曲线C的一条渐近线， ∴=                                                 解得a=1，b=， ∴双曲线C的方程为． 13. 已知抛物线上的一点到焦点的距离是5，且点在第一象限，则的坐标为_______________. 参考答案： 略 14. 设， 则的值为        ． 参考答案： -2 略 15. 若函数在区间(1,+∞)上为单调增函数，则k的取值范围是          ． 参考答案： 16. 某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表： 序号i 分组       (睡眠时间) 组中值(Gi) 频数(人数) 频率(Fi)   1 4,5) 4.5 6 0.12 2 5,6) 5.5 10 0.20 3 6,7) 6.5 20 0.40 4 7,8) 7.5 10 0.20 5 8,9 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________． 参考答案： 6.42   17. 如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有________．(填上所有正确命题的序号) (1)动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上； (2)三棱锥A′—FED的体积有最大值； (3)恒有平面A′GF⊥平面BCED； (4)异面直线A′E与BD不可能互相垂直． 参考答案： (1)(2)(3) 由题意知AF⊥DE， ∴A′G⊥DE，FG⊥DE， ∴DE⊥平面A′FG，DE?面ABC， ∴平面A′FG⊥平面ABC，交线为AF， ∴(1)(3)均正确． 当A′G⊥面ABC时，A′到面ABC的距离最大． 故三棱锥A′—FED的体积有最大值． 故(2)正确．当A′F2＝2EF2时，EF⊥A′E， 即BD⊥A′E，故(4)不正确． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上． （1）求椭圆C1的方程； （2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程． （2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程． 【解答】解：（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1， 点P（0，1）代入椭圆，得，即b=1， 所以a2=b2+c2=2 所以椭圆C1的方程为． （2）直线l的斜率显然存在， 设直线l的方程为y=kx+m， 由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0， 因为直线l与椭圆C1相切， 所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0 整理得2k2﹣m2+1=0① 由，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0 因为直线l与抛物线C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0 整理得km=1② 综合①②，解得或 所以直线l的方程为或． 19. 已知圆C的参数方程为（θ为参数），若P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l （Ⅰ）求直线l的极坐标方程 （Ⅱ）求圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标． 参考答案： 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=4，由题设知，圆心C（1，），P（2，0），过P点的切线的倾斜角为30°，设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，由正弦定理得，由此能求出直线l的极坐标方程． （Ⅱ）直线的直角坐标方程为x+y+6=0，设圆上的点M（1+2cosθ，），求出点M到直线的距离d=，当θ=时，点M到直线的距离取最大值，由此能求出圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标． 【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程为（θ为参数）， ∴圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=4， ∵P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l 由题设知，圆心C（1，），P（2，0）， ∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30°， 设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点， 则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°， 由正弦定理得， ∴， ∴直线l的极坐标方程为ρcos（θ+60°）=1． （Ⅱ）∵直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0， ∴直线的直角坐标方程为x+y+6=0， 设圆上的点M（1+2cosθ，）， 点M到直线的距离： d==， ∴当θ=时，点M到直线的距离取最大值．此时M（2，2）， ∴圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标为（2，2）． 20. 过抛物线(为大于0的常数)的焦点F,作与坐标轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点，求PQ中点R的轨迹L的方程. 参考答案： 抛物线的焦点为,设的直线方程为. 由得,设M,N的横坐标分别为, 则,得,, 而,故PQ的斜率为,PQ的方程为. 代入得.设动点R的坐标,则 ,因此, 故PQ中点R的轨迹L的方程为. 21. 设函数． （I）求的单调区间． （II）求在区间上的最大值． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可． 【解答】解：（I）因为其中， 所以， 令，解得：，令，解得：， 所以的增区间为，减区间为． （II）由（I）在单调递增，在上单调递减， ∴． 22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD， PO＝2，M为PD的中点．  (1)证明PB∥平面ACM； (2)证明AD⊥平面PAC.   参考答案： (1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB∥平面ACM………………………………………6分 (2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，