陕西省咸阳市奥林中学高三数学理月考试题含解析

陕西省咸阳市奥林中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数,则的值域为 （　　） A．   B．    C．   D． 参考答案： B 略 2. 设动直线与函数的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为 A．　　 B．　  C．　　　　 D． 参考答案： A ，令，当时，；当时，；当时，有极小值也有极大值，即故选A 3. 一个正方体被截去一部分后所剩的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A．6         B．       C. 7        D． 参考答案： D 由题意，该几何体是由一个边长为的正方体截去一个底面积为，高为的一个三棱锥所得的组合体，如图，所以，选D． 4. 已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是 A．         B．   C．      D． 参考答案： D 5. 若x≥0，y≥0且，那么2x+3y2的最小值为   A、2    B、   C、  D、0 参考答案： B 由得得，，所以，因为，所以当时，有最小值，选B. 6. 点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为(     ) A．7π B．14π C． D． 参考答案： B 【考点】球内接多面体． 【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可． 【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==， 它的外接球半径是， 外接球的表面积是4π（）2=14π 故选：B． 【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题． 7. 在给定程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率． 解答： 解：是几何概型， 所有的基本事件Ω=， 设能输出数对（x，y）为事件A，则A=， S（Ω）=1， S（A）=∫01x2dx=x3=． 故选：B． 点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率． 8. 已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是（    ） A．        B．        C．       D． 参考答案： A 试题解析：∵函数f（x）=sin（x-φ）， ∴=kπ+，k∈z，即 φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x-）， 令x-=kπ+，求得 x=kπ+，k∈z， 则函数f（x）的图象的一条对称轴为 x=   9. 设a＞b＞0，则的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用．  【专题】计算题；压轴题；转化思想． 【分析】将变形为，然后前两项和后两项分别用均值不等式，即可求得最小值． 【解答】解：=≥4 当且仅当取等号 即取等号． ∴的最小值为4 故选：D 【点评】本题考查凑成几个数的乘积为定值，利用基本不等式求出最值． 10. 设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m等于(   )       A．                       B．                     C．                    D．－2 参考答案： 答案：D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数．若f(x)为奇函数，则曲线在点(0,0)处的切线方程为___________． 参考答案： 【分析】 首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，从而得到，即， 所以，所以，所以切点坐标是， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 故答案是. 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目. 12. 已知，则      参考答案： 对等式两边求导得 ．继续对此等式两边求导，得 ．令得 ） ． 13. 已知平面区域，在区域内任取一点，则取到的点位于直线（）下方的概率为____________ . 参考答案： 略 14. 有如右的三视图，均是由边长为1的正方形和其中的一条对角线构成。其对应的立体图形的体积为          ． 参考答案： 15. 设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值为　　． 参考答案： 23 【考点】简单线性规划． 【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值． 【解答】解：画出可行域如图阴影部分， 由得A（4，5） 目标函数z=2x+3y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大z越大， 由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=23． 故答案为：23 16. 已知抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣2，则实数a的值为　　． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣，即可求之． 【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y， 则其准线方程为y=﹣=﹣2， 所以a=． 故答案为：． 17. 设不等式组表示的区域为,圆及其内部区域记为.若向区域内投入一点，则该点落在区域内的概率为_____.   参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列的各项均为正数，记,, . （Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式. （Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列. 参考答案： 解: (Ⅰ) 因为对任意，三个数是等差数列， 所以.                           ………1分 所以,                                      ………2分 即.                                    ………3分 所以数列是首项为１，公差为４的等差数列.                 ………4分 所以.                                ………5分 （Ⅱ）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则 　　　                .                     ………6分 所以得     即.                                     ………7分 　　     因为当时，由可得，                 ………8分 所以. 因为， 所以.                                          即数列是首项为，公比为的等比数列，                ………9分 （２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有 .                                               ………10分 因为， 所以均大于.于是 　　　　               ………11分 　　　　             ………12分 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列. ………13分 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.                ………14分   略 19. 已知点、和动点满足：,   且 （I）求动点的轨迹的方程； （II）设过点的直线交曲线于、两点, 若的面积等于，求直线的 方程. 参考答案： 解：（I）在中，由余弦定理得(1分) ……………(4分) ，即动点的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆.(5分) 动点的轨迹的方程为：.…………………………… (6分) （II）设直线的方程为 由消得.（※）………………(7分) 设、，则… (8分) ……………………(10分) 解得, 当时（※）方程的适合. 故直线的方程为或……………………(12分) 20. 在直角坐标系中，曲线 (为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线. （1）求曲线的普通方程； （2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值. 参考答案： （1）由得：. 因为，所以， 即曲线的普通方程为. （2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为1. 设曲线上的动点， 由动点在圆上可得：. ∵ 当时，， ∴. 21. （本小题满分12分） 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）试比较与的大小．   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网   参考答案： 解：（1）               ………………………………………………2分               ………………………………………3分               ……………………………………………4分              ．…………………………………………………………5分          ∴函数的最小正周期．  ……………………………………6分 （2）由可得： ．   ……………………………………………………8分 ∴函数在区间上单调递增． ……………………………10分 又， ∴． ……………………………………………12分 略 22.   已知命题“若点M（x0，y0）是圆x2+y2=r2上一点，则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2”．   （I）根据上述命题类比：“若点M（x0，y0）是椭圆（a>b>0）上一点，则过点M的切线方程为            ”（写出直线的方程，不必证明）． （Ⅱ）已知椭圆C：（a>b>0）的左焦点为F1（-1,0），且经过点（1，）．     （i）求椭圆C的方程；     （ii）过F1的直线l交椭圆C于A、B两点，过点A、B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程。 参考答案： 略