湖南省怀化市黔城中学高二数学理联考试卷含解析

湖南省怀化市黔城中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（　　） A．10 B．10    C．10 D．10 参考答案： D 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论． 【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x 在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得， = ∴BC==10 ∴x=10 ∴x= 故塔高AB= 【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题． 2. 已知点，则线段的垂直平分线方程是（     ） A．     B．     C．      D． 参考答案： B 3. 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（　　） A．100 B．200 C．300 D．400 参考答案： B 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型． 【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果． 【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B． 而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X 故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200． 故选B． 4. 已知点A(0,2)，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则p的值等于（    ） A．               B． 2            C．4            D．8 参考答案： B 5. 在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】球的体积和表面积． 【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解． 【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体， 则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线． ∴2r==5， ∴r=， 由球的体积公式得：S=πr3=π． 故选B． 【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系，确定外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线是关键． 6. 如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 m 4.5   若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（   ） A． 4        B．4.5       C. 3        D．3.5 参考答案： A 7. 已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是（  　）    A．　    　B．　　   C．或      D． 参考答案： C 略 8. 变量满足约束条件，则目标函数的最小值（  ） A.2              B.4              C.1             D.3 参考答案： D 9. 已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 参考答案： A 【考点】等比数列的通项公式；基本不等式． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值． 【解答】解：∵a7=a6+2a5， ∴a5q2=a5q+2a5， ∴q2﹣q﹣2=0， ∴q=2， ∵存在两项am，an使得=4a1， ∴aman=16a12， ∴qm+n﹣2=16， ∴m+n=6 ∴=（m+n）（）= 故选A 【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和． 10. 下列命题错误的是(    ) A．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程 无实数根，则”. B．“x =1”是“”的充分不必要条件. C．对于命题p：使得，则均有。 D．若为假命题，则p ，q均为假命题. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 曲线在点处的切线方程为         ▲          . 参考答案： 略 12. 有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点P到点O1，O2的距离都大于1的概率． 【解答】解：∵到点O1的距离等于1的点构成一个半个球面，到点O2的距离等于1的点构成一个半个球面，两个半球构成一个整球，如图， 点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为： P====， 故答案为：． 13. 已知三棱柱，底面是边长为10的正三角形，侧棱垂直于底面，且，过底面一边，作与底面成角的截面面积是_________. 参考答案： 略 14. 以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____． 参考答案： 【分析】 本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。 【详解】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为， 所以椭圆的顶点为，焦点为， 因为，所以椭圆方程为， 故答案为。 【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键． 15. 椭圆的焦点坐标为________． 参考答案： 试题分析：由题意得，椭圆，可化为，所以，所以椭圆的焦点坐标分别为． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质． 16. 给出下列函数： ①y=x+； ②y=lgx+logx10（x＞0，x≠1）； ③y=sinx+（0＜x≤）； ④y=； ⑤y=（x+）（x＞2）． 其中最小值为2的函数序号是　     　． 参考答案： ③⑤ 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】运用分类讨论可判断①②不成立；由函数的单调性可知④不成立；运用正弦函数的单调性可得③对；由x﹣2＞0，运用基本不等式可知⑤对． 【解答】解：①y=x+，当x＞0时，y有最小值2；x＜0时，有最大值﹣2； ②y=lgx+logx10（x＞0，x≠1），x＞1时，有最小值2；0＜x＜1时，有最大值﹣2； ③y=sinx+（0＜x≤），t=sinx（0＜t≤1），y=t+≥2=2，x=最小值取得2，成立； ④y==+，t=（t≥），y=t+递增，t=时，取得最小值； ⑤y=（x+）（x＞2）=（x﹣2++2）≥（2+2）=2，x=3时，取得最小值2． 故答案为：③⑤． 17. 已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = _____ 参考答案： 15 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有． （1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明． （2）若对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 解：（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直， 则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1 和x2，且x1＜x2． 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1 ）+f（﹣x2）=[x1+（﹣x2）]． 由于 ＞0，且[x1+（﹣x2）]＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 故函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数． 这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直． （2）由于 对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立， ∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）． 由于由（1）可得，函数f（x）是[﹣1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2， ∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0． 令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有 ， 解得 m≤﹣2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤﹣2，或m≥2，或 m=0}． 略 19. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求直方图中a的值； （Ⅱ）若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由； （Ⅲ）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由． 参考答案： 【考点】频率分布直方图． 【分析】（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率和为1，列出方程求出a的值； （Ⅱ）由图计算不低于3吨的频率和频数即可； （Ⅲ）由图计算月均用水量小于2.5吨的频率和月均用水量小于3吨的频率， 假设月均用水量平均分布，由此求出x的值． 【解答】解：（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率和为1， 即0.5×（0.08+0.16+0.3+a+0.52+0.3+0.12+0.08+0.04）=1， 解得a=0.4；… （Ⅱ）由图知，不低于3吨的人数所占比例为 0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12， ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为 110×0.12=13.2（万）；… （Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占比例为 0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73，… 即73%的居民月均用水量