高考试题——数学（四川卷）（文）

绝密启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类)解析：四川省成都市新都一中肖宏本试卷分第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页，第II卷3至10页.满 分150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷注意事项：1.答 第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.3。本试卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件力、8互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(4)+P(B)s=4 兀如果事件/、8相互独立，那么其中R表示球的半径P(A-B)=P(AP(B)球的体积公式如果事件/在一次试验中发生的概率是p,那么4 n，v=兀 R-3在 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径pn(k)=c*Pk(i -Py-k(k=o,i,2,.ri)一、选择题(1)设集合N=3,5,6,8 ,集合 B=4,5,7,8 ,则4nB 等于(J)3,4,5,6,7,8(B)3,6(C)4,7(D)5,8解析：集合A与集合B中的公共元素为5,8答案：D(2)函数)-log2x的图象大致是解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.答案：c(3)抛物线/=8%的焦点到准线的距离是 1 2(0 4 (。)8解析：由J=2 p x=8 x 知p=4又交点到准线的距离就是P答案：C(4)一个单位有职工8 0 0 人，期中具有高级职称的1 6 0 人，具有中级职称的3 2 0 人，具有初级职称的2 0 0 人，其余人员1 2 0 人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为4 0 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是U)1 2,2 4,1 5,9 (B)9,1 2,1 2,7(C)8,1 5,1 2,5 ()8,1 6,1 0,6解析：因为上4 0匕=1-8 0 0 2 0故各层中依次抽取的人数分别是当=8,=1 6,=1 0,=62 0 2 0 2 0 2 0答案：D(5)函数/(X)=f+a+1 的图像关于直线x =1 对称的充要条件是(4)m =-2(B)m =2(C)m =-(Q)m=1解析：函数/(x)=x2+m x+1 的对称轴为x=一万于是 1 =m 22答案：A(6 )设 点 M是 线 段 8C的 中 点，点/在 直 线 BC外，5 C2=1 6 ,回 +码=画-西，则|画 =CA)8 (5)4(C)2(D)1.2解析：由3 c =1 6,得出C=4益+就|=|益-就|=|比|=4而 存+式|=2|丽故丽=2答案：C7 T(7)将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动器个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是71(4)y-sin(2x-)10(C)y-sin(%-)2 1071(B)y-sin(2x-y)7T、CD)y=x-)20T T解析：将函数y=sinx的图像上.所有的点向右平行移动本个单位长度，所得函数图象的解T T析式为 y=si(x)10再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是.兀、y=sin(x-).,2 10答案：C(8)某加工厂用某原料由车间加工Hl A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克4产品，每千克Z产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克3产品，每千克8产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为(A)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱(5)甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱(C)甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱()甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱x+y b 0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为Z.在椭圆上存在点P满足线段A P的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是1 1(A)(0,-(B)(0,(O /2-1,1)(),1)2 2 2解析：由题意，椭圆上存在点尸，使得线段/P的垂直平分线过点产，即F点到P点与A点的距离相等k a2 b1而|E 4|=-c =C CP F a c,a+c 于是久 acf Q+Cc即 a c c Y b Y a c+J.ac-c1 a1-c2a2-c2 ac +c2-1I a a 2又(0,1)故答案：D91 1(1 1)设4 b0,贝|J 2+的最小值是ab aya b)(J)1(B)2(C)3 ()4解析：Q 2-|-H-.ab a a-b)=a1-a h a h-1-ab a(a-b)=ab-F a(a-b)+-ah-b)22+2=4当且仅当夕6=1,a(a6)=1时等号成立如取a=近，b=J 满足条件.2答案：D(1 2)半径为火的球O 的直径Z 8 垂直于平面a,垂足为B,A5CD是平面a 内边长为火的正三角形，线段N C、分别与球面交于点M、N ,那么A/、N 两点间的球面距离是7 8(4)Rarccos (8)Rarccos 25 251 4(C)7iR()兀 R3 15解析：由已知，AB=2R,BC=R，故m NBAC=2cosZBAC=275r连结。，则 为 等 腰 三 角 形4亚AM 2AOcosZBAC 54x/5R,同理5&MN CD而 4C=y/R,C D =R故 MN：CD=AN:AC4n MN R,5连结。M、O N,有OM=ON=R十口/O M2+O N2-M N2 17于是 cosNMON=-=2OM ON2517所以M、N两点间的球面距离是Harccos25答案：A二、填空题2(1 3)(x-)4的 展 开 式 中 的 常 数 项 为(用 数 字 作 答)x2解析：展开式的通项公式为yX取1=2得常数项为C42(-2)2-2 4答案：2 4(1 4)直线x 2 y +5 =0 与 圆/+2=8 相交于/、B 两 点,则 4 耳=.解析：方法一、圆心为(0,0),半径为2 及圆心到直线x 2 y +5 =0 的距离为d=V 5V l2+(-2)2故(四)2 +(2 =(2 0)2得|/8|=2 馅答案：2小(1 5)如图，二面角a/-的大小是6 0 ,线段NBua.Be/,A B与/所成的角为30 .则A B与平面p所 成 的 角 的 正 弦 值 是.解析：过点力作平面的垂线，垂足为C,在“内过C作/的垂线.垂足为。连结有三垂线定理可知4。，/,故4 4 D C 为二面角a-/一夕的平面角，为 6 0又由已知，N4BD=30 连结C8,则/4 8 C为 N8 与平面广所成的角设/。=2,则 Z C=6，8=1A DA B=-=4s i n 30.,八 A C 6si u N A B C=-=A B 4答案4(1 6)设 S为复数集C的非空子集.若对任意x,yeS,都有x+y,x-y,x y e S,则称S为封闭集。下列命题:集合S=+历I 为整数，z为虚数单位)为封闭集；若S为封闭集，则一定有O eS；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足S HJC的任意集合T 也是封闭集.其中真命题是(写出所有真命题的序号)解析：直接验证可知正确.当 S为封闭集时，因为x-y G S,L x=y,得 O d S,正确对于集合5=0 ,显然满足素有条件，但 S是有限集,错误取 5=0,7=0,1 ,满足S =T=但由于01 =1 史 7,故 T 不是封闭集，错误答案：三、解答题：本大题共6小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(1 7)(本小题满分1 2 分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印 有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为，.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。(I)求三位同学都没有中奖的概率；(I I)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.0 7 )乐力显主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算,考去运用所学知识与方法解决实际问题的能力.解：(I )设甲、乙、丙中奖的驿件分别为A、8、C.那么P(A)=P(8)=P(C)=6C)=P(A)P(B)P(C)=住)=祟.6/210答:三位同学都没有中奖的概率是慕.(6分)(H)1-P(A-H C+A B C+A B C+A-B-C)或 P(A=号.答:三位同学中至少有两位没有中奖的概率为次.分)解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为4、B、C,那么P C4)=P(B)=P(C)=L6尸(N豆乞)=P()P(豆)双 心)=(芋=黑6 216答：三位同学都没有中奖的概率为8.6分(2)1-P(J B C+A B C+A B C 5 C)=L 3 X(3 2：$=n或 P(N 55-C +-5-C +-5-O 答：三位同学至少两位没有中奖的概率为fl.(1 8)(本小题满分1 2 分)在正方体428 一/夕C D 中，点”是棱44的中点，点。是对角线8。的中点.(I )求证：为异面直线44和 的 公 垂 线:(I I )求二面角M-B C -B 的大小；I)连 清 .取 A C 的中点A,则K为B D的中点,连结0 K.因为点”是 校 W 的中点.点0是 m 的中点,所以 4 M 4!DD LO K,所以 MOJLAK.由 M 1 AK,!)M O 1 AA.因为AK 1 R D.AX X 所以A N 平而/切 71.所以 AK 1 Bl),.所以 M O 1 BD.又因为OM与异而直线W和HD,都相交，”故OM为异面立线.M和BD的公垂线.“X”(5 分)U )取88,的中点M 连结MM则M/V 1平面B CCW.过点N作N H 1 B C 干H.连结M.则由三垂线定理得，B C 1 M H.从而.乙M H N 为二面珀M -B C -B的平面角.设.4 8=1,则 M N =I.NH=8N i n 4 5。=1.&=旦.2 2 4在 R i&M N H 中，=ti n=Z/2.故二面角 H C -B的大小为a mt a n 入.(1 2 分)解法二以点。为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。-工产.设,48=I,则 4(1,0。),8(1.1,0),C(0.1.0).4X i.O.l).5 0,1,1),D(O.O.l).(1)因为点M 是校八八 的中点，点。是 8沙的中占.所 以 叩 0 郢 隹*4)-，彳 =-曲 =0.牙 初 二-；+0=0.所以。“1AA,O M 1 BD.又因为0M 与异面直线d，和 8。都相交.故OM为异面直线AA1和BD的公垂线.(5 分)y +7=.一上:=0住器比即取X =2.则兀=2.y-1./),8、=(-1,0,1)(12分)(H )设平面8M b的一个法向f t 为%=(x,y.x).BM=(0,=(2.1.2)取平面的一个法向=(0.1.士1 元卜册云审由图可知,二面角M-8 C-A故二面角M-8C，-反的大，J本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：(1)连结Z C,取/C 中点K,则 K 为 8 0 的中点，连结OK因为“是棱4 4 的中点，点。是 8。的中点所以 AMLDDOK=2=所以M O&A K由 44 1 A K,得 M 9 L 4/因为 4KLBD,4 K L B B,所以 NK_L平面 8DD B所以/K_L8。所以M O L B D 又因为OM是 异 面 直 线 和 都 相 交故 为 异 面 直 线 4 4 和BD的公垂线.6 分(2)取 8夕 中点N,连结M V,则 MN_L平面BCC B过点N 作于 H