2022年山东省临沂市临沭第一中学高三数学理联考试题含解析

2022年山东省临沂市临沭第一中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 计算1og5＋所得的结果为     (A)1 　　　　(B) 　　 (C) 　　　　　(D) 4 参考答案： A 略 2. 已知集合M＝{y｜y＝x2}，N＝{y｜y=x}，则M∩N＝        A．                 B．                 C．[0，1]                   D．（0，1） 参考答案： B 3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是（   ） A．相交且垂直         B．共面               C．平行            D．异面且垂直 参考答案： D 由题意易知：直线，∴又直线与直线异面直线， 故选：D   4. 同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称”的一个函数是 (    ) A.  B.  C.  D． 参考答案： D 略 5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　） A．32+8π B．32+ C．16+ D．16+8π 参考答案： B 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】该几何体正四棱柱上叠一个圆锥，圆锥的底面半径为2，高为2，正四棱柱的底面边长为2，高为4，利用体积公式计算即可． 【解答】解：该几何体正四棱柱上叠一个圆锥， 圆锥的底面半径为2，高为2，故其体积为 正四棱柱的底面边长为2，高为4，其体积为2××4=32； ∴该几何体的体积为32+， 故选：B． 【点评】本题考查了几何体的三视图，属于中档题． 6. 在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC, AB=BC= ,SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是- , 若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（　　） A．8 B．p C．24p D．6p 参考答案： D 7. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，等于   （    ） A.      B.              C.                 D. 4 参考答案： C 略 8. (5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p = (A) 1 (B) (C) 2 (D) 3 参考答案： C 9. 平面向量满足，，，，则的最小值为（ ） A.          B.        C.  1      D. 2 参考答案： 【答案解析】B解析：设，则有x=1,m=2,,得，所以，所以选B. 【思路点拨】在向量的计算中，若直接计算不方便，可考虑建立坐标系，把向量坐标化，利用向量的坐标运算进行解答. 10. 在Rt△ABC中，，点D在斜边AC上，且，E为BD的中点，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据题意可得为等腰直角三角形，且直角边为2，斜边为，所以转化为、、之间的关系即可。 【详解】在中，因为，所以。因为。所以、、 【点睛】本题考查了向量平行四边形法则。勾股定理的应用，平面向量的基本定理，向量的夹角，其中容易忽略的是向量的夹角（共起点） 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为        ． 参考答案： 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2 【答案解析】  由三视图知，几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，斜高为， 这个几何体的表面积为8××1×=2 ∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是， ∴外接球的表面积是4×π（）2=2π则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=故答案为：． 【思路点拨】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是 ，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是 ，求出表面积及球的表面积即可得出比值． 12. 设向量，且，则=        ． 参考答案： 因为，所以，即，，所以。 13. 已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________. 参考答案： 【知识点】直线的位置关系和距离公式；双曲线的标准方程和性质  H2  H6 【答案解析】  解析：双曲线的一条渐近线与直线l：垂直， 双曲线的渐近线的斜率为，则，① 由题意知双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为， 根据点到直线的距离公式，则，，即，②， 联立①②，解得，所以双曲线的标准方程为：， 故答案为： 【思路点拨】求双曲线的标准方程即求参数。根据已知可求出渐近线的斜率，得到一个关于的方程，再利用点到直线的距离公式结合双曲线的性质得到另外一个关于的方程，联立两个方程，解出参数即可。 14. 已知复数，为的共轭复数，则          参考答案： 略 15. 某鲜花店4枝玫瑰花与5枝牡丹花的价格之和不低于27元，而6枝玫瑰花与3枝牡丹花的价格之和不超过27元，则购买这个鲜花店3枝玫瑰花与4枝牡丹花的价格之和的最大值是___________元．   参考答案： 36 略 16. 已知集合，，则  ▲  ． 参考答案： 。 17. 命题“?x∈R，ex－x＋1≥0”的否定是                参考答案： , ex－x＋1<0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时． （Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率； （Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可． （Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可． 【解答】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A， 则． 所以甲临时停车付费恰为6元的概率是． （Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30． 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形． 其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意． 故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为． 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为 x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由抛物线的准线方程可得p，进而得到抛物线方程； （2）求出函数y=﹣的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点A，进而直线OA的方程，设出直线BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出N的坐标，代入所求式子化简即可得到定值2． 【解答】解：（1）由题设知，，即， 所以抛物线的方程为y2=x； （2）因为函数的导函数为， 设A（x0，y0），则直线MA的方程为， 因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣?（﹣x0）． 联立，解得A（16，﹣4）， 所以直线OA的方程为． 设直线BC方程为y=kx﹣2， 由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0， 所以． 由，得． 所以， 故的为定值2． 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题． 20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且， （1）求a1，a2的值；              （2）求数列{an}的通项an； （3）设cn=（3n+1）an，求数列{cn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比关系的确定． 【分析】（1）直接利用，通过n=1，2，求出a1，a2的值； （2）利用Sn﹣Sn﹣1=an，推出数列{an}是等比数列，求出通项公式． （3）求出Cn，利用错位相减法，求出数列{cn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）由S1=2a1﹣2=a1得a1=2， S2=2a2﹣2=a1+a2，a2=4， （2）∵Sn=2an﹣2，Sn﹣1=2an﹣1﹣2， Sn﹣Sn﹣1=an，n≥2，n∈N*， ∴an=2an﹣2an﹣1， ∵an≠0， ∴，（n≥2，n∈N*）． 即数列{an}是等比数列． ． （3）cn=（3n+1）an=（3n+1）2n． Tn=4×2+7×22+10×23+…+（3n﹣2）2n﹣1+（3n+1）2n…①， 2Tn=4×22+7×23+10×24+…+（3n﹣2）2n+（3n+1）2n+1…②， ①﹣②得… =… =8﹣12+3?2n+1﹣（3n+1）?2n+1… =﹣4+（2﹣3n）?2n+1，… ∴．                    … 21. （12分）某几何体的三视图和直观图如图所示。 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值。   参考答案： （1）由三视图可知，在三棱柱中，底面， 且--------------------------------2分 以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，由已知可得：，， ，--------------4分 --------------6分 又平面 （2）由（1）得。 设平面的法向量为，则   即 令，得平面的一个法向量为----------10分 由（1）知，是平面的一个法向量 故二面角的余弦值为。-----------12分 22. 已知a，b，c分别为非等腰△ABC内角A，B，C的对边，。 (1)证明：C＝2B； (2)若b＝3，c＝2，求△ABC的面积。 参考答案：