浙江省杭州市西湖职业中学高一数学理期末试卷含解析

浙江省杭州市西湖职业中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在数列中，，前项和，则数列的通项公式为  （     ） 参考答案： A 2. 的值等于(   ) A. B. C. D. 参考答案： A = ,选A. 3. 2log510+log50.25=（ 　　） A．0 B．1 C．2 D．4 参考答案： C 4. 下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（    ） A.(0,0), (1,-2)  B.(-1,2), (2,-4) C.(3,5), (6,10)         D.(2,-3), (6, 9)       参考答案： D 略 5. 若正数m，n满足，则的最小值为 A. B. C. D. 3 参考答案： A 【分析】 由，利用基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 下列各函数为偶函数，且在[0，+∞）上是减函数的是（　　） A．y=x+3 B．y=x2+x C．y=x|x| D．y=﹣|x| 参考答案： D 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据偶函数的定义，偶函数图象的特点便可判断每个选项函数是否为偶函数，这样便可判断选项A，B，C错误，即正确选项为D． 【解答】解：A．y=x+3的图象不关于y轴对称，不是偶函数，∴该选项错误； B．x=﹣1时，y=0；x=1时，y=2； ∴f（﹣1）≠f（1），该函数不是偶函数，∴该选项错误； C．x=﹣1时，y=﹣1；x=1时，y=1； ∴f（﹣1）≠f（1），不是偶函数，∴该选项错误； D．y=﹣|x|定义域为R，且f（﹣x）=﹣|﹣x|=﹣|x|=f（x）； ∴该函数为偶函数； x≥0时，y=﹣|x|=﹣x为减函数，∴该选项正确． 故选：D． 【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及一次函数的图象，一次函数的单调性，特殊值法说明一个函数不是偶函数的方法． 7. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是______ A.y=2x B.y=sinx  C.y=log2x D.y=x|x| 参考答案： D 8. 已知偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则与的大小关系是（       ） ≤             ≥                参考答案： B 9. 如果等差数列中，，那么 A. 14                 B.21              C.28               D.35 参考答案： C 10. 已知直线//平面，直线平面，则（ ）． A．//   B．与异面      C．与相交     D．与无公共点 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为____               _． 参考答案： 3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0 12. 在中，若，则为             三角形。 参考答案： 等腰直角 13. 已知：在锐角三角形中，角对应的边分别是，若，则角为   ▲   . 参考答案： 14. 已知a＞0，b＞0，，则2a+b的最小值为          ． 参考答案： 8 15. 函数的单调递减区间为         参考答案： 　和　 16. 已知三棱锥P-ABC外接球的表面积为100π，PA⊥面，则该三棱锥体积的最大值为____。 参考答案： 【分析】 根据球的表面积计算出球的半径.利用勾股定理计算出三角形外接圆的半径，根据正弦定理求得的长，再根据圆内三角形面积的最大值求得三角形面积的最大值，由此求得三棱锥体积的最大值. 【详解】画出图像如下图所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.设球的半径为，三角形外接圆的半径为，则，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形为等边三角形，其高为.由于为定值，而三角形的高等于时，三角形的面积取得最大值，由于为定值，故三棱锥的体积最大值为. 【点睛】本小题主要考查外接球有关计算，考查三棱锥体积的最大值的计算，属于中档题. 17. 已知一组数据，，，的方差为5，则这组数据，，，的方差为______． 参考答案： 45 【分析】 利用方差的性质直接求解． 【详解】一组数据，，，的方差为5， 这组数据，，，的方差为：． 【点睛】本题考查方差的性质应用。若的方差为， 则的方差为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱平面，且， 为底面对角线的交点，分别为棱的中点 （1）求证：//平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离。 参考答案： （1）证明：是正方形,,为的中点，又为的中点，,且平面，平面,平面. （2）证明：面,面，,又可知,而,面,面,面,,又,为的中点，,而,平面,平面 （3）解：设点到平面的距离为，由（2）易证,,,, 又,即,,得 即点到平面的距离为 19. （本小题满分12分） 如图所示，已知空间四边形，分别是边的中点，分别是边上的点，且， 求证： （Ⅰ）四边形为梯形； （Ⅱ）直线交于一点． 参考答案： （Ⅱ）由（Ⅰ）可得相交于一点，因为面，面， 面面，所以，所以直线交于一点． 20. 设集合U=R，A={x|4≤2x＜16}，B={x|y=lg（x﹣3）}．求： （1）A∩B        （2）（?UA）∪B． 参考答案： 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】（1）先解指数不等式，化简A，根据对数的定义域求出集合B，再根据交集的定义即可求出， （2）求出A的补集，再求出答案即可． 【解答】解：（1）A={x|4≤2x＜16}={x|2≤x＜4}， B={x|y=lg（x﹣3）}={x|x＞3}， ∴A∩B={x|3＜x＜4}， （2）?UA={x|x＜2或x≥4}， ∴（?UA）∪B={x|x＜2或x＞3} 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键． 21. (10分)若＝，是第四象限角，求的值. 参考答案： 由已知得 22. （本小题满分12分）已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量，，． （1）若∥，试判断△ABC的形状并证明； （2）若⊥，边长，∠C=，求△ABC的面积．   参考答案： 解：（1）ABC为等腰三角形； 证明：∵ =（a，b），（sinB，sinA），∥， ∴，   　　　　　　　　　　　　   …………………………2分 即=，其中R是△ABC外接圆半径， ∴        ∴△ABC为等腰三角形   …………………………4分 （2）∵，由题意⊥，∴                                              ………………………6分 由余弦定理可知，4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab                ………………………8分 即（ab）2﹣3ab﹣4=0，∴ab=4或ab=﹣1（舍去）           ………………………10分 ∴S=absinC=×4×sin=．                      ………………………12分