2022年广东省梅州市登輋中学高二数学理测试题含解析

2022年广东省梅州市登輋中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 曲线y=x3﹣4x在点（1，﹣3）处的切线倾斜角为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】62：导数的几何意义． 【分析】欲求在点（1，﹣3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． 【解答】解：． 故选A． 【点评】本题考查了导数的几何意义、正切函数的图象、直线的倾斜角等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题． 2. 离散型随机变量X的概率分布列如下： X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 c 则c等于(　　) A．0.01         B．0.24  C．0.1          D．0.76 参考答案： C 3. 函数 = 的最大值为（      ） A.            B.           C.  e               D. 参考答案： D 略 4. 曲线与坐标轴围成的面积是          （    ） A.4                  B.               C.3                     D.2   参考答案： C 略 5.     若直线与曲线有两个交点，则k的取值范围是（   ）． A．[1,+∞)     B． [-1,-)     C． (,1]      D．(-∞,-1] 参考答案： B 略 6. 双曲线的焦距是 （     ） A．4         B．                      C． 8                     D．与有关 参考答案： C 略 7. 曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 参考答案： B 【考点】62：导数的几何意义． 【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． 【解答】解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选B． 【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题． 8. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）  A．          B．      C．          D． 参考答案： A 9. 下列计算错误的是（　　） A.    B.    C.   D. 参考答案： C 10. 椭圆的一个焦点是，那么实数的值为(   )   A、 B、        C、    D、 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则　　　　　　　 参考答案： -12 12. 若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆有。类似地，对于双曲线有=          。 参考答案： 略 13. 若实数x,y满足的最大值是            ． 参考答案： 14. ，，，的夹角为60°，则与的夹角为__________． 参考答案： 120° 【分析】 由向量模的运算及数量积运算可得， 再由向量的夹角公式运算可得解. 【详解】解：，所以， 设与的夹角为， 则， 又因， 所以. 【点睛】本题考查了两向量的夹角，属基础题. 15. （不等式选讲）。不等式：的解集是              。 参考答案： 16. 正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为　　． 参考答案： 2+2 【考点】简单空间图形的三视图． 【专题】计算题． 【分析】几何体的主视图和侧视图是全等的等腰三角形，推知腰是正四棱锥的斜高，求出斜高，即可求出正视图的周长． 【解答】解：由于正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为， 其主视图和侧视图是全等的等腰三角形； 所以主视图和侧视图中的腰是正四棱锥的斜高． 其长为： 则正视图的周长：2+2． 故答案是2+2． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，易错点是：主视图和侧视图是全等的等腰三角形中的腰是正四棱锥的斜高． 17. 在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC=4，则△ADC的面积的最大值为　　． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【分析】先利用余弦定理求得建立等式，利用基本不等式的性质确定AD?DC的最大值，进而根据三角形面积公式求得三角形面积的最大值． 【解答】解： 在△ACD中，cos∠ADC===﹣， 整理得AD2+CD2=48﹣AD?DC≥2?AD?DC， ∴AD?DC≤16，AD=CD时取等号， ∴△ADC的面积S=AD?DC?sin∠ADC=AD?DC≤4， 故答案为： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过点与椭圆交于两点． ⑴求的周长； ⑵若的倾斜角为，求的面积． 参考答案： 由椭圆的定义，得，又， 所以，的周长． 又因为，所以，故点周长为．………………………………6分 ⑵由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为， 故直线的方程为．………………………………………………………8分 由消去，得，……………………………………10分 设，解得， 所以，．…………………………14分 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）求证：， 参考答案： （Ⅰ） ∴ （Ⅱ） 显然时有，只需证时，由于     所以当时，. 综上， 20. 受传统观念的影响，中国家庭教育过程中对子女教育的投入不遗余力，基础教育消费一直是中国家庭教育的重头戏，升学压力的逐渐增大，特别是对于升入重点学校的重视，导致很多家庭教育支出增长较快，下面是某机构随机抽样调查某二线城市2012-2018年的家庭教育支出的折线图.   （附：年份代码1-7分别对应的年份是2012-2018） （1）从图中的折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r（精确到0.001），并指出是哪一层次的相关性？（相关系数，相关性很强；，相关性一般；，相关性较弱）. （2）建立y关于t的回归方程； （3）若2019年该地区家庭总支出为10万元，预测家庭教育支出约为多少万元？ 附注：参考数据：，，，，. 参考公式：，回归方程， 其中， 参考答案： （1）详见解析；（2）；（3）万元. 【分析】 （1）由折线图中的数据及已知求出与的相关系数的近似值，对照参考数据，即可得出结论； （2）由已知结合公式求出及，可得关于的回归方程； （3）将2019对应的代入回归方程，求出，进一步求得2019年该地区家庭教育支出. 【详解】（1）由折线图中数据及题中给出的参考数据， 可得， 所以， 即与的相关系数近似值为，所以相关性很强； （2）由，得， 又， ， 所以关于的回归方程为； （3）将年对应的代入回归方程， 得， 所以预测2019年该城市家庭教育支出将达到家庭总支出的， 因此当家庭总支出为10万元时，家庭教育支出为（万元）. 【点睛】本题考查线性相关关系、线性回归方程及应用，考查计算求解能力，属于中档题.   21. 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值. （1）试求动点P的轨迹方程C. （2）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程. 参考答案： 解：(1)设点，则依题意有，……（2分） 整理得                      ………………………………（4分） 由于，所以求得的曲线C的方程为 …（5分） （2）由 …………………………（7分） 解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐标）. ……………………（10分） 由 ………………………（11分）                              ………………………………（13分） 所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.     …………………… 略 22. （本小题满分13分）某单位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）． （Ⅰ）写出所有的基本事件； （Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少？ 参考答案： （1）基本事件有 （甲、乙）；（甲、丙）；（甲、丁）；（乙、丙）；（乙、丁）；（丙、丁）（乙、甲）； （丙、甲）；（丁、甲）；（丙、乙）；（丁、乙）；（丁、丙）共12个基本事件---------6分 （2）记事件A={甲、乙两人中至少有一人被安排}，则由（1）可知A不发生的基本事件有（丁、丙）（丙、丁）------------------------------8分 由古典概型概率公式得P（A）=------------------------------12分 答：甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是．-----------------------------13分