2022-2023学年北京中地学校高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 执行右边的程序框图，若，则输出的值为
A. B.
C. D.
参考答案：
C
2. “p且q是真命题”是“非p为假命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也木必要条件
参考答案：
A
3. 已知方程在（0，+∞）上有两个不同的解a，b（a＜b），则下面结论正确的是（ ）
A．sina=acosb B．sina=-acosb C．cosa=bsinb D．sinb=-bsina
参考答案：
B
略
4. 已知，且x是第四象限角，则sinx的值等于（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】两角和与差的正弦函数．
【分析】利用诱导公式求得cosx的值，再根据x是第四象限角，利用同角三角函数的基本关系，求得sinx 的值．
【解答】解：∵已知=cosx，且x是第四象限角，则sinx=﹣=﹣，
故选：A．
5. 设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
6. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
A．30(+1)m B．120(－1) m C．180(－1)m D．240(－1)m
参考答案：
B
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．
【解答】解：如图，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD?tan60°=60．
∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．
∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．
故选：B．
7. a1，a2，a3，a4是各项不为零的等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去a2，得到的数列a1，a3，a4是等比数列，则的值为（ ）
A．1 B．﹣4 C．﹣1 D．4
参考答案：
B
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】利用等比中项的性质，得a32=a1?a4，进而求得a1和d的关系，即可得出结论．
【解答】解：若a1、a3、a4成等比数列，则a32=a1?a4
∴（a1+2d）2=a1（a1+3d）
∴a12+4a1d+4d2=a12+3a1d
∴4d2=﹣a1d
∵d≠0
∴4d=﹣a1
则=﹣4
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了等差数列通项公式和等比中项的性质的灵活运用．
8. 如图，P是△ABC所在的平面内一点，且满足＋＝，D，E是BP的三等分点，则
A．＝ B．＋＝
C．＋＝4 D．－＝－
参考答案：
B
略
9. 已知函数，定义函数，则是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
参考答案：
A
试题分析：,所以，所以当时，，所以当时，，所以函数是奇函数，故选A.
考点：1.分段函数的表示；2.函数的奇偶性.
10. 设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使得，，则双曲线的离心率为 （ ▲ )
A．2 B． C． D．
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设点P（）是函数与（x∈（，π）图象的交点，则()(的值是__________________
参考答案：
2
12. 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是 ．
参考答案：
{x|x≥3或x≤1}
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，f（1）=0，
∴不等式f（x﹣2）≤0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），
即|x﹣2|≥1，
即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，
即x≥3或x≤1，
故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，
故答案为：{x|x≥3或x≤1}．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
13. 等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 ．
参考答案：
略
14. 若离散型随机变量的分布列为
1
0
则常数 ，的数学期望 ．
参考答案：
，
15. 的值为
参考答案：
2
16. 若集合满足∪∪…∪,则称，，…为集合A的一种拆分。已知：
①当∪=时，A有种拆分；
②当∪∪=时，A有种拆分；
③当∪∪∪=时，A有种拆分；
……
由以上结论，推测出一般结论；
当∪∪…∪=，A有 种拆分。
参考答案：
略
17. 已知函数则f[f(-2)]= ,不等式f(x)≥16的解集为
参考答案：
34, (－∞,－2]∪[7,＋∞)
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
（Ⅱ）若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方.
参考答案：
（Ⅰ）解由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1分
当a＝－1时，f′(x)＝x－ 2分
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)， 3分
当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的， 4分
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的， 5分
则x＝1是f(x)极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)= 6分
（Ⅱ）证明 设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋ln x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝， 8分
当x>1时，F′(x)<0， 9分
故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的， 10分
又F(1)＝－<0， 11分
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立
即f(x)
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