2021-2022学年湖北省鄂州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析)

2021-2022学年湖北省鄂州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案及部分解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.（）。 A.-2 B.-1 C.0 D.2 2.  3.  4.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中( )． A.A.至少有一条平行于x轴 B.至少有一条平行于y轴 C.没有一条平行于x轴 D.可能有一条平行于y轴 5. A.f(x)+C B.f'(x)+C C.f(x) D.f'(x) 6.  7.平衡物体发生自锁现象的条件为( )。 A.0≤α≤φ B.0≤φ≤α C.0<α<90。 D.0<φ<90。 8.  A.0 B.cos 2-cos 1 C.sin 1-sin 2 D.sin 2-sin 1 9.设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)（）。 A.有极小值 B.有极大值 C.既有极小值又有极大值 D.无极值 10. 11.  12. 13. 设f(xo)=0，f(xo)<0，则下列结论中必定正确的是 A.xo为f(x)的极大值点 B.xo为f(x)的极小值点 C.xo不为f(x)的极值点 D.xo可能不为f(x)的极值点 14. 15. A.2 B.1 C.1/2 D.-2 16.函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x0处可导的 A.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分条件也非必要条件 17.（　　）． A.A.单调增加且为凹 B.单调增加且为凸 C.单调减少且为凹 D.单调减少且为凸 18. 下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是 A. B.f(x)=(x-4)2， x∈[-2，4] C. D.f(x)=｜x｜， x∈[-1，1] 19.在稳定性计算中，若用欧拉公式算得压杆的临界压力为Fcr，而实际上压杆属于中柔度压杆，则( )。 A.并不影响压杆的临界压力值 B.实际的临界压力大于Fcr，是偏于安全的 C.实际的临界压力小于Fcr，是偏于不安全的 D.实际的临界压力大于Fcr，是偏于不安全的 20. A.0 B.1/2 C.1 D.2 二、填空题(20题) 21.  22. 23.函数y=x3-2x+1在区间[1，2]上的最小值为______． 24. 25.过M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程为______． 26.  27.  28.  29.  30. 31. 微分方程xdx+ydy=0的通解是__________。 32. 33. 34. 35. 36. 37.  38.设y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________。 39. 40. 三、计算题(20题) 41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几? 42.  43. 44. 求曲线在点(1，3)处的切线方程． 45.证明： 46. 47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解． 48. 求微分方程的通解． 49.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0． 50. 51.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为 S(x)． (1)写出S(x)的表达式； (2)求S(x)的最大值． 52. 求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程． 53. 求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值． 54.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度 u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m． 55.  56.  57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点． 58.当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则 59. 将f(x)=e-2X展开为x的幂级数． 60. 四、解答题(10题) 61.  62.设y=3x+lnx，求y'． 63. 判定y=x-sinx在[0，2π]上的单调性。 64.  65.  66. 67. 68.设z=xy3+2yx2求 69. 70.  五、高等数学(0题) 71. 有( )个间断点。 A.1 B.2 C.3 D.4 六、解答题(0题) 72. 参考答案 1.A 2.A 3.C解析： 4.A 本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义． 由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确． 如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确． 本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A． 有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误． 5.C 6.C解析： 7.A 8.A由于定积分 存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A． 9.A因f(x)=(1+x)ex且处处可导，于是，f'(x)=ex+(1+x)·ex=(x+2)ex，令f'(x)=0得驻点x=-2；又x＜-2时，f'(x)＜0；x＞-2时，f'(x)＞0；从而f(x)在i=-2处取得极小值，且f(x)只有一个极值. 10.D 11.A 12.B 13.A 14.A 15.A 本题考查了等价无穷小的代换的知识点。 16.B 由可导与连续的关系：“可导必定连续，连续不一定可导”可知，应选B。 17.B 本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性． 18.C 19.B 20.D 本题考查了二元函数的偏导数的知识点。 21.[01)∪(1+∞) 22. 本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。 23.0 本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题． 通常求解的思路为： 先求出连续函数f(x)在(a，b)内的所有驻点x1,…，xk． 比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的x即为，(x)在[a，b]上的最大(小)值点． 由y=x3-2x+1，可得 Y'=3x2-2． 令y'=0得y的驻点为，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当x∈(1，2)时有 Y'=3x2-2＞0． 可知y=x3-2x+1在[1，2]上为单调增加函数，最小值点为x=1，最小值为f(1)=0． 注： 也可以比较f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为f(x)在[1，2]上的最小值． 本题中常见的错误是，得到驻点和之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内．而是错误地比较 从中确定f(x)在[1，2]上的最小值．则会得到错误结论． 24.0． 本题考查的知识点为定积分的性质． 积分区间为对称区间，被积函数为奇函数，因此 25. 本题考查的知识点为直线方程的求解． 由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为 26.极大值为8极大值为8 27.1 28.(01)(0，1) 解析： 29. 30. 31.x2+y2=C 32. 33.本题考查的知识点为幂级数的收敛半径． 所给级数为缺项情形，由于 34.0 本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点. 35. 解析： 36. 37.2m2m 解析： 38.y=f(x0)y=f(x)在点x0处可导，且y=f(x)有极小值f(x0)，这意味着x0为f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知，必有f"(x0)=0，因此曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)为所求切线方程。 39.  本题考查的知识点为定积分计算． 可以利用变量替换，令u＝2x，则du＝2dx，当x＝0时，u＝0；当x＝1时，u＝2．因此 40. 41.需求规律为Q=100ep-2.25p ∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p, ∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％ 42. 43. 44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上． 因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0． 如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点 (x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为 45. 46. 47.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0， 48. 49. 50. 51. 52. 53. 函数的定义域为 注意 54.由二重积分物理意义知 55. 由一阶线性微分方程通解公式有 56. 则 57. 列表： 说明 58.由等价无穷小量的定义可知 59. 60. 61. 62. 本题考查的知识点为导数运算． 63.因为在[02π]内y'=1-cosx≥0可知在[02π]上y=x-sinx单调增加。因为在[0，2π]内，y'=1-cosx≥0，可知在[0,2π]上y=x-sinx单调增加。 64. 65. 66.将方程两端关于x求导，得 67. 68. 69. 70. 71.C ∵x=0，1，2，是f(x)的三个孤立间断 ∴有3个间断点。 72.