2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市新世纪高级实验中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年内蒙古自治区呼和浩特市新世纪高级实验中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在数列中，的值为               （    ）     A．55050          B．5051           C．4950           D．4951 参考答案： D 2. 某单位1-4月份用水量（单位：百吨）的一组数据如下表所示：   月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5   根据收集到的数据，由最小二乘法可求得线性回归方程，则（    ） A．－0.7         B．0.7       C． －0.75       D．0.75 参考答案： A 3. 已知都是实数，那么“ ”是“ ”的(　　) A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件 C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 略 4. 已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（　　） A．（0，﹣3） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1） 参考答案： C 【考点】复合命题的真假． 【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标． 【解答】解：若“p且q”为真命题，则： P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上； 所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点； ∴解得x=1，y=﹣1； ∴P（1，﹣1）． 故选C． 5. 设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，则的面积是（ *** ） A.1           B.         C.2          D. 参考答案： A 6. 的展开式中的常数项为                         (　  　) A．－1320         B．1320       C．220       D．-220 参考答案： D 略 7. 有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(     ) A.            B.                C.               D. 参考答案： A 略 8. 下列说法中，正确的是（    ） A．命题“若，则”的逆命题是真命题 B． “为真命题”是 “为假命题” 成立的充分不必要条件 C．命题“存在”的否定是“对任意” D．已知，则“”是“”的充分不必要条件 参考答案： B 略 9. 复数的共轭复数是   （    ） A．2-i B．-2-i C．2+i D．-2+i 参考答案： D 10. 若P是两条异面直线外的任意一点，则（    ） A．过点P有且仅有一条直线与都平行        B．过点P有且仅有一条直线与都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与都相交       D．过点P有且仅有一条直线与都异面 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则的最小值为             ． 参考答案： 9 12. 已知函数y=f（x）的图象在x=3处的切线方程为y=﹣2x+7，则f（3）+f′（3）的值是　_________　． 参考答案： 略 13. 曲线在点处的切线平行于直线，则点坐标为__________． 参考答案： 或． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】先设切点坐标，然后对进行求导，根据曲线在点处的切线平行于直线建立等式，从而求出切点的横坐标，代入到即可得到答案． 【解答】解：设点的坐标为， 由，得到， 由曲线在点处的切线平行于直线，得到切线方程的斜率为， 即，解得或， 当时，；当时，， 则点的坐标为或． 故答案为：或． 14. 某班名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，，第五组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.若成绩大于或等于秒且小于秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数为———————— 参考答案： 15. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出     人． 参考答案： 25 16. 已知命题“若，则”是真命题，而且其逆命题是假命题，那么是的                  的条件。 参考答案： 必要不充分条件 17. 　在区间上的最大值是　　． 参考答案： 0 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题． 分析： 求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最值． 解答： 解：求导函数可得：f′（x）=x2﹣x=x（x﹣1） 令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1； ∵x∈ ∴函数在上单调增，在上单调减 ∴x=0时，函数取得极大值，且为最大值 ∴在区间上的最大值是0 故答案为：0 点评： 本题考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数确定函数的单调性，最大值在极大值点处或端点取得． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分15分)椭圆的离心率为，两焦点分别为，点是椭圆上一点，且的周长为，设线段（为坐标原点）与圆交于点，且线段长度的最小值为. （1）求椭圆以及圆的方程; （2）当点在椭圆上运动时,判断直线与圆的位置关系. 参考答案： 解:（1） 设椭圆的半焦距为,则 ，即 ①  ，…………1分 又  ②  ，  ……………2分 联立①②，解得,，所以 ，   …………… 4分 所以椭圆的方程为 ；         ………………6分 而椭圆上点与椭圆中心的距离为 ，等号在时成立，……7分 而，则的最小值为，从而，   则圆的方程为 ．           ……………………8分 （2）因为点在椭圆上运动,所以，    即  ，                 …………………9分 圆心到直线的距离，  ……11分 当，，，则直线与圆相切．   …… 13分 当时，，则直线与圆相交．    …………15分 19. 已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 参考答案： 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析：（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围． 解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1， 即 ①，或 ②， 或③． 解①求得x∈?，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2． 综上可得，原不等式的解集为（，2）． （Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=， 由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0）， B（2a+1，0）， 故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1）， 由△ABC的面积大于6， 可得[2a+1﹣]?（a+1）＞6，求得a＞2． 故要求的a的范围为（2，+∞）． 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 20. （本小题满分12分）在复数范围内，求满足|z|2－（z＋）i＝（i为虚数单位）条件的复数z. 参考答案： 解：原方程化简为|z|2－（z＋）i＝1－i， 设z＝x＋yi（x、y∈R），代入上述方程得x2＋y2－2xi＝1－i，……..4 ∴x2＋y2＝1且2x＝1，解得x＝且y＝，            …….10 ∴原方程的解是z＝i.                              ……12   略 21. 已知函数的最小值为M. （1）求M； （2）若正实数a，b，c满足，求证： 参考答案： （1）；（2）详见解析. 【分析】 （1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式. 【详解】解：（1）， 由于函数y=,是减函数，y=,是减函数，y=，是增函数， 故当时，取得最小值. （2） . 22. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45°，F是PB的中点，E是BC上的动点． （Ⅰ）证明：PE⊥AF； （Ⅱ）若BC=2BE=2AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小．． 参考答案： 【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系；用空间向量求直线间的夹角、距离． 【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE，AF的坐标，得到其数量积为0即可证明结论． （Ⅱ）先根据条件求出D的坐标以及，的坐标，进而求出平面PDE的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案． 【解答】解：（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．设AP=AB=2，BE=a 则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0） 于是，，， 则， 所以AF⊥PE．… （Ⅱ）若，则，， =（2，2，﹣2）， 设平面PDE的法向量为=（x，y，z）， 由，得：，令x=1，则， 于是，而 设直线AP与平面PDE所成角为θ， 则sinθ==． ∴直线AP与平面PDE所成角为60°．