辽宁省丹东市第二十六中学高三数学理期末试卷含解析

辽宁省丹东市第二十六中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为                                            （    ） A．    B．        C．     D．  参考答案： A 2. 在的展开式中，常数项为 （   ） A．-240         B．-60         C．60         D．240 参考答案： D 3. 设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|x2+3x﹣4≤0}，则（?RS）∪T=（　　） A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞） 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算；全集及其运算． 【分析】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得?RS，再利用并集的定义求出结果． 【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}， ∴?RS={x|x≤﹣2}， T={x|x2+3x﹣4≤0}={x|﹣4≤x≤1}， 故（?RS）∪T={x|x≤1} 故选C． 4. 已知集合，，则A∩B的子集个数为（   ） A. 2 B．4 C．6 D．8 参考答案： B 由已知得：，， ，所以子集个数：个 5. 若，，，的方差为，则，，，的方差为（   ） A.               B.              C.          D. 参考答案： D 若，则,因为,所以，选D. 6. 设为实数，若复数，则（   ） A.       B.     C.     D. 参考答案： A 略 7. 已知椭圆的左右焦点分别为F1, F2,P是椭圆上一点，为以F2P为底边的等腰三角形,当,则该椭圆的离心率的取值范围是(    ) A.     B.        C.         D. 参考答案： B 8. 已知i为虚数单位，则（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简. 【详解】依题意，原式，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解. 9. 已知命题p：x2﹣x﹣2＞0，q：|x|＜a，若￢p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＜2 D．a≤2 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑． 【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义建立条件是解决本题的关键． 【解答】解：由x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1， 则￢p：﹣1≤x≤2， 若若￢p是q的必要而不充分条件， 则q?￢p，但￢p?q不成立， 若a≤0，则q：?，此时满足条件． 若a＞0，则q：﹣a＜x＜a， 此时满足，即，解得0＜a≤1， 综上a≤1， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据命题之间的关系进行转化是解决本题的关键． 10. 已知等比数列满足则 A.121    B.154     C.176     D.352 参考答案： C 整体思想：，； . 选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.   已知函数f(x)的值域为 [0,4](x∈[－2，2])，函数g(x)＝ax－1，x∈ [－2,2]任意x1∈[－2,2]，总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是________． 参考答案： a≥或a≤－   12. 方程的解是           参考答案： 。 原方程可化为，解得，或（舍去）， ∴。 13. 在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________. 参考答案： 1 略 14. 已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则sinα=　     ，tan（π﹣2α）=　    　． 参考答案： ， 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】先求r，再利用三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式，即可求得结论． 【解答】解：由题意，x=3a，y=4a，∴r=|5a|=﹣5a ∴sinα==﹣，tanα== ∴tan（π﹣2α）=﹣tan2α=﹣=﹣= 故答案为：，． 15. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为_____________. 参考答案： 7 略 16. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为       . 参考答案： 17. （坐标系与参数方程选做题） 如图，为圆O的直径，为圆O上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，交圆O于，若，，则=         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C：（）经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）动直线l：（，）交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案： （1）∵椭圆：（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴，∴ 又∵椭圆经过点，代入可得. ∴，故所求椭圆方程为. （2）首先求出动直线过点. 当与轴平行时，以为直径的圆的方程： 当与轴平行时，以为直径的圆的方程： 由解得 即两圆相切于点，因此，所求的点如果存在，只能是，事实上，点就是所求的点. 证明如下： 当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点 当直线不垂直于轴，可设直线： 由消去得： 记点、，则 又因为， 所以 所以，即以为直径的圆恒过点 所以在坐标平面上存在一个定点满足条件. 19. +为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.     （Ⅰ）求； （Ⅱ）若从抽取的人中选2人作专题发言， （i）列出所有可能的抽取结果； （ii）求这二人都来自高校C的概率． 参考答案： （Ⅰ）由题意知，，所以. （Ⅱ）（i）记抽取的人为，，，则从抽取的人中选2人作专题发言所有可能的抽取结果是： 共15种 （ii）“这二人都来自高校C”记为事件，其包含的所有可能结果是，共3种， 所以，   略 20. （14分） 在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”. （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 参考答案： 解析：（Ⅰ）,（答案不惟一） （Ⅱ）因为在绝对差数列中,.所以自第 20 项开始，该数列是,, 即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当时，的极限 不存在. 当时, ,所以 （Ⅲ）证明：根据定义，数列必在有限项后出现零项.证明如下  假设中没有零项，由于,所以对于任意的n，都有,从而  当时, ;  当 时,  即的值要么比至少小1，要么比至少小1. 令 则 由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 ，这与() 矛盾. 从而必有零项. 若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，,  , 即 所以绝对差数列中有无穷多个为零的项. 21. 已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立． （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证： +≥． 参考答案： 【考点】基本不等式；绝对值三角不等式． 【分析】（I）|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，m∈N*，解得m． （II）α，β＞1，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，可得α+β=2．再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|， ∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2． ∵m∈N*，∴m=1． （II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2， ∴α+β=2． ∴+==≥=，当且仅当α=2β=时取等号． 22. 已知函数    （Ⅰ）若上是增函数，求实数的取值范围。    （Ⅱ）若的一个极值点，求上的最大值。 参考答案： （I） 上是增函数    ………………3分 即上恒成立   则必有   ………………6分    （II）依题意， 即    ………………8分 令 得则 当变化时，的变化情况如下表： 1 （1，3） 3 （3，4） 4   — 0 +   —6   —18   —12 在[1，4]上的最大值是   ………………12分