2022-2023学年广东省梅州市平远中学高一数学理模拟试题含解析

2022-2023学年广东省梅州市平远中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（       ） 　  A．　      B．　 　C．　　         D． 参考答案： C 2. 函数=的定义域为（   ） A［1，+∞）     B（，1］      C（，+∞）        D  [，1］ 参考答案： B 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（  ） A．         B．8       C.20         D．24 参考答案： C 由三视图可知，该几何体为长方体上方放了一个直三棱柱， 其体积为：. 故选：C   4. 设是在－1,0,1这三个整数中取值的数列，若：，且，则当中取零的项共有（      ） A．11个  　　　　B．12个          C．15个  　 　 　D．25个   参考答案： A 略 5. 设，，则（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 根据指数函数的性质，，，，即，故选A.   6. 已知，满足：，，，则(   ) A．         B．     C．3           D．  参考答案： D 7. 设为坐标原点，点坐标为，若点满足不等式组：  时，则的最大值的变化范围是（    ） A．[7，8]       B．[7，9]       C．[6，8]               D．[7，15] 参考答案： A 略 8. 计算下列几个式子，①, ②2(sin35°cos25°+sin55°cos65°), ③ , ④ ，结果为的是（     ） A. ①②                          B. ①③                          C. ①②③  D. ①②③④  参考答案： C 略 9. 若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3， =2，则输出的数等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可． 【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2 S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3 S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体， 则S=×2=． 故选B． 10. 函数 ,则(      ) A.函数有最小值0，最大值9         B. 函数有最小值2，最大值5 C.函数有最小值2，最大值9         D. 函数有最小值1，最大值5  参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知指数函数y=f（x），对数函数y=g（x）和幂函数y=h（x）的图象都过P（，2），如果f（x1）=g（x2）=h（x3）=4，那么xl+x2+x3=　　． 参考答案： 【考点】指数函数的图象与性质． 【分析】利用待定系数法分别求出，指数函数，对数函数和幂函数的表达式，然后解方程即可． 【解答】解：分别设f（x）=ax，g（x）=logax，h（x）=xα， ∵函数的图象都经过点P（，2）， ∴f（）==2，g（）=logb=2，h（）=（）α=2， 即a=4，b=，α=﹣1， ∴f（x）=4x，g（x）=，h（x）=x﹣1， ∵f（x1）=g（x2）=h（x3）=4， ∴4x1=4， x2=4，（x3）﹣1=4， 解得x1=1，x2=（）4=，x3=， ∴x1+x2+x3=， 故答案为： 12. 空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=，那么这个球的半径是               ． 参考答案： 13. 下列几个命题： ①方程的有一个正实根，一个负实根，则； ②函数是偶函数，但不是奇函数； ③函数的值域是，则函数的值域为； ④ 设函数定义域为R，则函数与的图象关于轴对称； ⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1. 其中正确的有___________________. 参考答案： 14. ,则的余弦值为________. 参考答案： 略 15. 幂函数在时为减函数，则==         。 参考答案： 2 略 16. 已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是           ．   参考答案： 17. 已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题： （1）a∥α，b∥β，则a∥b；      （2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b； （3）a∥b，b?α，则a∥α； （4）a⊥b，a⊥α，则b∥α； 其中正确命题是　　． 参考答案： （2） 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】利用空间直线与平面的平行与垂直判定及性质即可解决． 【解答】解：对于（1），a∥α，b∥β，则a∥b，α、β位置关系不确定，a、b的位置关系不能确定； 对于（2），由垂直于同一平面的两直线平行，知结论正确； 对于（3），a∥b，b?α，则a∥α或a?α； 对于（4），a⊥b，a⊥α，则b∥α或b?α． 故答案为：（2） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知cosα=﹣，且α为第三象限角． （1）求sinα的值； （2）求f（α）=的值． 参考答案： 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】（1）由已知及同角三角函数关系式即可求sinα的值． （2）由诱导公式化简后代入（1）的结果即可求值． 【解答】解：（1）∵cosα=﹣，且α为第三象限角． ∴sinα=﹣=﹣=﹣． （2）f（α）===﹣． 19. 已知的三个顶点． 求（1）边上的中线所在的直线方程； （2）边的垂直平分线所在的直线方程． 参考答案： 解：(1)因为B、C的中点坐标为(0，2)， 所以中线所在的直线方程为， 即； (2)因为BC所在直线的斜率为， 所以其垂直平分线的斜率为2，则边的垂直平分线所在的直线方程为y=2x+2， 即. 略 20. 已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）?f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2， （1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2． （2）判断f（x）的单调性并加以证明． （3）若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减，求实数k的取值范围． 参考答案： 考点： 抽象函数及其应用． 专题： 综合题． 分析： （1）f（x+y）=f（x）?f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2中，令x=y=0，再验证即可求出f（0）=2．设x＜0，则﹣x＞0，利用结合x＞0时，f（x）＞2，再证明． （2）设x1＜x2，将f（x2）转化成f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2=f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2，得出了f（x2）与f（x1）关系表达式， 且有f（x2﹣x1）＞2，可以证明其单调性． （3）结合（2）分析出x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣k＜0，k大于 f（x）的最大值即可． 解答： 解：（1）∵f（x+y）=f（x）?f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2令x=y=0， f（0）=f（0）?f（0）﹣f（0）﹣f（0）+2 ∴f2（0）﹣3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1 若 f（0）=1 则 f（1）=f（1+0）=f（1）?f（0）﹣f（1）﹣f（0）+2=1， 与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2                         （1分） 设x＜0，则﹣x＞0，那么f（﹣x）＞2 又2=f（0）=f（x﹣x）=f（x）?f（﹣x）﹣f（x）﹣f（﹣x）+2 ∴ ∵f（﹣x）＞2 ，∴，从而1＜f（x）＜2（3分） （2）函数f（x）在R上是增函数 设x1＜x2则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞2 f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2 =f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2 ∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x1）﹣1＞0，又f（x2﹣x1）＞2 ∴f（x2﹣x1）?[f（x1）﹣1]＞2f（x1）﹣2 f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2＞f（x1） 即f（x2）＞f（x1） ∴函数f（x）在R上是增函数                                               （3分） （3）∵由（2）函数f（x）在R上是增函数 ∴函数y=f（x）﹣k在R上也是增函数 若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减 则x∈（﹣∞，0）时，g（x）=|f（x）﹣k|=k﹣f（x） 即x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣k＜0， ∵x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2（3分） 点评： 本题是抽象函数类型问题．解决的办法是紧紧抓住题目中给出的抽象函数的性质，对字母灵活准确地赋值，一般可求出某一函数值，f（x）与f（﹣x） 的关系式，在探讨单调性时，可将区间上的实数x1，x2，写成x2 =（x2﹣x1 ）+x1 或x2 =（x2÷x1 ）×x1 建立f（x2）与f（x1）关系式，结合前述性质证明． 21. 当x∈[0，1]时，求函数f（x）=x2+（2﹣6a）x+3a2的最小值． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义． 【专题】综合题；数形结合；分类讨论；数形结合法． 【分析】先求得函数f（x）=x2+（2﹣6a）x+3a2的对称轴，为x=3a﹣1，由于此问题是一个区间定轴动的问题，故分类讨论函数的最小值 【解答】解：该函数的对称轴是x=3a﹣1， ①当3a﹣1＜0，即时，fmin（x）=f（0）=3a2； ②当3a﹣1＞1，即时，fmin（x）=f（1）=3a2﹣6a+3； ③当0≤3a﹣1≤1，即时，fmin（x）=f（3a﹣1）=﹣6a2+6a﹣1． 综上所述，函数的最小值是：当时，fmin（x）=f（0）=3a2，当时，fmin（x）=f（1）=3a2﹣6a+3；当时，fmin（x）=f（3a﹣1）=﹣6a2+6a﹣1． 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是根据二次函数的性质对函数在区间[0，1]的最值进行研究得出函数的最小值，二次函数在闭区间上的最值问题分为两类，一类是区间定轴动的问题，如本题，另一类是区间动轴定的问题，两类问题求共性都是要分类讨论求最值，此问题是高考解题的一个热点，很多求最值的问题最后都归结为二次函数的最值，对此类问题求最值的规律要认真总结，熟记于心． 22. （本小题满分15分）已知数列及， ，． （Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式； （Ⅱ）若  对一切正整数恒成立，求实数的取值范围; （Ⅲ）求证： ． 参考答案： 解：（Ⅰ）由已知，所以.      ，所以. ，所以.      ………3分 因为， 所以，即. 所以. ………6分 （Ⅱ）令，   ∴当n=1时，；当n=2时，；当. ∴当n=2时，取最大值是 又  对一切正整数