福建省莆田市第十七中学2022年高三数学文期末试卷含解析

福建省莆田市第十七中学2022年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，则的值为（    ） A.             B.             C.            D. 参考答案： 答案：D 2. 已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（　　） A．﹣2 B．5 C．6 D．7 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值． 【解答】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域， 由得A（3，5）， 当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值， 即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2． 故选A． 【点评】本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义． 3. 茎叶图如图1，为高三某班60名学生的化学考试成绩，算法框图如图2中输入的a1为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（　　） A．m=29，n=15 B．m=29，n=16 C．m=15，n=16 D．m=16，n=15 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得． 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在60名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数， 由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，82，84，84，85，86，89，89，89，90，91，96，98，98，98，共1，6人，故n=16， 由茎叶图得，在60名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，49，50，51，52，53，53，56，58，59，59，59共15人， 则在60名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有60﹣16﹣15=29，故m=29， 故选：B． 【点评】本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键． 4. 设为等比数列的前项和，,则 (A)           (B)            (C)      (D) ks5u 参考答案： A 略 5.     若满足且的最小值为-4，则的值为（    ）                  参考答案： D 6. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=pSn+q（n∈N*，p≠﹣1），则“a1=q”是“{an}为等比数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由等比数列的定义和递推公式即可得到{an}是以p+1为公比的等比数列，再令n=1，求出a1=q，根据充要条件的定义判断即可 【解答】解：∵an+1=pSn+q，① ∴an=pSn﹣1+q，②， 由①﹣②可得an+1﹣an=p（Sn﹣Sn﹣1）=pan， ∴an+1=（p+1）an， ∴=p+1， ∴{an}是以p+1为公比的等比数列， 当n=1时，a2=pa1+q=a1（p+1）， 解得a1=q 故“a1=q”是“{an}为等比数列”的充要条件， 故选：C 　 7.  已知，则的表达式为（ ）   B．  C．  D． 参考答案： A 8. 已知x∈[－π，π]，则“x∈”是“sin（sinx）＜cos（cosx）成立”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： C 试题分析：当x∈时，sinx＋cosx≤ 所以0≤sinx＜－cosx≤ 于是sin（sinx）＜sin（－cosx）＝cos（cosx），充分性成立. 取x＝－，有sin（sinx）＝sin（－）＝－sin＜0 cos（cosx）＝cos（－）＝cos＞0 所以sin（sinx）＜＜cos（cosx）也成立，必要性不成立 故选C 考点：三角函数的性质，充要条件 9. 设，若，则的最大值为（  ）．   (A)    　　　（B）1 　　　  (C) 　　　   (D)2 (A)    （B）   (C)    (D) 参考答案： B 10. 已知命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　） A．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 C．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项 【解答】解：命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题， 故?p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0． 故选：C． 【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则          ． 参考答案：       12. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则          ． 参考答案： 13. 在极坐标系中，直线l：与圆C：，则直线l被圆C截得的弦长为          ． 参考答案：         14. 圆C：的圆心到直线的距离是_______________. 参考答案： 3 15. 已知函数在x＝－1时有极值0，则m＝______；n＝_______； 参考答案： m＝2，n＝9。 16. 方程lgx=sinx的解的个数为　　． 参考答案： 3 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由函数y=lgx的单调性可知：当0＜x≤10时，lgx≤1；又由正弦函数的有界性可知：sinx≤1．画出当x＞0时的图象即可得出答案． 【解答】解：要使lgx有意义，必须x＞0． 分别作出函数y=lgx，y=sinx，当x＞0时的图象： 由函数y=lgx的单调性可知：当0＜x≤10时，lgx≤1；又sinx≤1． 由图象可以看出：函数y=lgx与y=sinx的图象有且仅有3个交点，故方程lgx=sinx的解的个数为3． 故答案为3． 【点评】熟练掌握对数函数和正弦函数的图象和性质是解题的关键． 17. 已知变量，满足约束条件，则的最大值是_________. 参考答案： 9   考点：简单的线性规划． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 经过坐标原点O的两条直线与椭圆：分别相交于点A、C和点B、D，其中直线AB经过E的左焦点，直线CD经过E的右焦点(1,0).当直线AB不垂直于坐标轴时，AB与AD的斜率乘积为. （1）求椭圆E的方程； （2）求四边形ABCD面积的最大值. 参考答案： （1）（2）最大值6. 【分析】 （1）设，，由对称性可知，由，，相减得，而直线与直线的斜率乘积为，所以，由题意可知，利用，这样可求出的值，进而求出椭圆的标准方程； （2）由题设不平行于轴，设：，与联立得，由对称性四边形是平行四边形，其面积的等于面积的4倍，于是，利用根与系数的关系，和换元法以及求导法，可以求出四边形面积的最大值. 【详解】解：（1）设，，由对称性，直线与直线的斜率乘积为. 由，，相减得. 所以，因为，所以，，的方程为. （2）由题设不平行于轴，设：，与联立得.，. 由对称性四边形是平行四边形，其面积的等于面积的4倍，于是 . 设，当时，，函数单调递增， 所以当，即时，取最大值6. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及椭圆内接四边形面积最大问题，解决本题的关键是理解掌握椭圆对称性质. 19. 已知函数f（x）=lnx﹣ax+，且f（x）+f（）=0，其中a，b为常数． （1）若函数f（x）的图象在x=1的切线经过点（2，5），求函数的解析式； （2）已知0＜a＜1，求证：f（）＞0； （3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）利用赋值法，令x=1，得到f（1）=0，则切点为（1，0），从而可求出切线的斜率k=5，即f'（1）=5．由方程组，即可求出a，b的值； （2）将x=待入f（x）的解析式，构造函数，通过求导可知g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（）＞0； （3）求导，f'（x）=，对参数a进行分类讨论，易知a≤0，或a≥时，f（x）至多一个零点，不符题意；当0＜a＜时，f（x）存在两个极值点x1，x2，通过零点存在定理可知，此时f（x）存在三个零点，满足条件，故a的取值范围是． 【解答】解：（1）在中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，∴a=b， ∵，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a， ∵f（x）的图象在x=1的切线经过点（1，0），（2，5），∴k=， ∴1﹣2a=5，得a=﹣2， ∴； （2） 令， 则 ∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， ∴x∈（0，1）时， 故0＜a＜1时，f（）＞0； （3）， ①当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多一个零点，不符题意；    ②当时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多一个零点，不符题意； ③当时，令f′（x）=0，解得，， 此时，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减， ∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0， ∵，∴，使得f（x0）=0， 又∵， ∴f（x）恰有三个不同的零点： 综上所述，a的取值范围是． 【点评】本题考查了利用导数研究切线方程，利用导数证明不等式以及利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目． 20. 如图6所示，F1、F2为椭圆C： ＋＝1（b0）的左、右焦点，D、E分别是椭圆C的右顶点和上顶点，椭圆的离心率e＝，＝1－ .若点M(x0,y0)在椭圆C上，则 点N(，)称为点M的一个“椭点”，直线l与椭圆交于A、B两点，A、B两点的“椭点”分别为P、Q，已知以PQ为直径的圆过坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）问是否存在过左焦点F1的直线l，使得以PQ为直径的圆过坐标原点？ 若存在，求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．     参考答案： 解：（I）e＝ ＝   c=a, b=aS DEF2＝(a-c)b=1－ a=2,b=1故椭圆C的标准方程为＋y2＝1………………………………………………….5分 （Ⅱ） ①当直线l的斜