广西壮族自治区柳州市民进高级中学2022年高二数学文期末试题含解析

广西壮族自治区柳州市民进高级中学2022年高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列有关命题的说法正确的是 (     )． A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”． B．“” 是“”的必要不充分条件． C．命题“若，则”的逆否命题为真命题． D．命题“使得”的否定是：“均有”． 参考答案： C 2. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（　　） A．   B． C．   D． 参考答案： D 3. 观察，，，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) = A. f(x) B. －f(x) C. g(x) D. －g(x) 参考答案： D 由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D。 4. =(    )    A．         B.        C.         D． 参考答案： B 5. 已知函数f（x）=，方程f2（x）﹣af（x）+b=0（b≠0）有六个不同的实数解，则3a+b的取值范围是（　　） A．[6，11] B．[3，11] C．（6，11） D．（3，11） 参考答案： D 【考点】54：根的存在性及根的个数判断． 【分析】作函数f（x）=的图象，从而利用数形结合知t2﹣at+b=0有2个不同的正实数解，且其中一个为1，从而可得﹣1﹣a＞0且﹣1﹣a≠1；从而解得． 【解答】解：作函数f（x）=的图象如下， ∵关于x的方程f2（x）﹣af（x）+b=0有6个不同实数解， 令t=f（x）， ∴t2﹣at+b=0有2个不同的正实数解， 其中一个为在（0，1）上，一个在（1，2）上； 故， 其对应的平面区域如下图所示： 故当a=3，b=2时，3a+b取最大值11， 当a=1，b=0时，3a+b取最小值3， 则3a+b的取值范围是（3，11） 故选：D 6. 在复平面内，复数z满足（3－4i）z=|4+3i|（i为虚数单位），则z的虚部为 A．-4    B． C．4    D． 参考答案： D 略 7. 若x，y满足约束条件，则的最大值为（   ） A．-2                B．-1             C．2              D．4 参考答案： C 8. 在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】轨迹方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案． 【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0）， 再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0）， 由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m， 即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m． 当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0； 当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0； 当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=； 当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣； 当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0； 当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0． 结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求． 故选：A． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题． 9. 如果ac＜0，bc＜0，那么直线ax+by+c=0不通过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系． 【分析】先把直线ax+by+c=0化为y=﹣再由ac＜0，bc＜0得到﹣＜0，﹣＞0，数形结合即可获取答案． 【解答】解：∵直线ax+by+c=0可化为y=﹣， ac＜0，bc＜0 ∴ab＞0， ∴﹣＜0，﹣＞0， ∴直线过一、二、四象限，不过第三象限． 故答案选C． 10. 是的        （     ）   A. 充要条件                     B. 充分不必要条件      C. 必要不充分条件               D. .既不充分也不必要条件 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4个球，同时选取两个球，则两个球上的数字为相邻整数的概率为　　． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；试验法；概率与统计． 【分析】利用列举法求出从4个球中同时选取2个球的基本事件总数和两个球上的数字为相邻整数含有基本事件个数，由此能求出两个球上的数字为相邻整数的概率． 【解答】解：从4个球中同时选取2个球的基本事件总数有： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个． 记“两个球上的数字为相邻整数”为事件A， 则事件A中含有3个基本事件：{1，2}，{2，3}，{3，4}，． 所以P（A）=． 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 12. 已知，若不等式的解集为A，已知，则a的取值范围为_____. 参考答案： [2,+∞) 【分析】 根据题意，分析可得即，其解集中有子集，设，按二次函数系数的性质分3种情况分类讨论，分别求出的取值范围，综合可得结果. 【详解】根据题意得，， 则不等式即， 变形可得，若其解集为A，且， 设，则不等式即， （i）当，即时， 不等式的解集为，符合题意； （ii）当，即时， 若必有 ，解得， 则此时有：； （iii）当，即时， 为二次函数，开口向上且其对称轴为 ， 又，所以在成立， 此时 综上，的取值范围为 【点睛】本题考查二次不等式恒成立和二次函数的性质，二次不等式恒成立问题要根据二次项系数分类求解. 13. 已知点A ( 3，1 )，点M，N分别在直线y = x和y = 0上，当△AMN的周长最小时，点M的坐标是       ，点N的坐标是       。 参考答案： (，)，(，0 ) 14. 5道题中有3道理科题和2道文科题，不放回的抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率等于                     . 参考答案： 略 15. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 参考答案： 16. 若曲线与有且只有一个公共点，为坐标原点，则 的取值范围是________________________. 参考答案： 17. 下面关于向量的结论中， (1);(2)；(3)若 ，则； （4）若向量平移后，起点和终点的发生变化，所以也发生变化； （5）已知A、B、C、D四点满足任三点不共线，但四点共面，O是平面ABCD外任一点，且其中正确的序号为       . 参考答案： （1）（2）（5） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，6558764 ∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）， ∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0， 即1﹣m≤x≤1+m， 若￢p是￢q的必要非充分条件， 即q是p的必要非充分条件， 即，即， 解得m≥9． 19. （本小题满分12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元。 (Ⅰ)把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数； (Ⅱ)为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 参考答案： （1）由题意得：，  即：                              ……6分 （2）由（1）知， 令，解得x=50,或x=-50(舍去)。                            ……8分 当时， 当时，    （均值不等式法同样给分 ）           ……10分 因此，函数在x=50处取得极小值，也是最小值。 故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶。       ……12分 20. （本题14分）已知函数与函数在点处有公共的切线，设. （1）求的值 （2）求在区间上的最小值. 参考答案：      当,即时, 对成立, 对成立                   所以在单调递减,在上单调递增                  其最小值为 综上，当时，    在上的最小值为       当时，在上的最小值为       当时,    在上的最小值为.   21. （12分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由． 参考答案： 考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程． 专题： 综合题． 分析： （1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程． （2）假设存在这样的值．，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解． 解答： 解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0， 依题意可得：， 解得：a2=3，b=1， ∴椭圆的方程为． （2）假设存在这样的值． ， 得（1+3k2）x2+12kx+9=0， ∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①， 设C（x1，y1），D（x2，y2）， 则 而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4， 要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0）， 当且仅当CE⊥DE时， 则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0， ∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③ 将②代入③整理得k=， 经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E． 点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化． 22. 已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值． 【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=s