上海吴泾中学高二数学理模拟试题含解析

上海吴泾中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在直角坐标系中，直线的斜率是                     （     ） A．     B．        C．          D． 参考答案： D 略 2. 已知 若 20070324   ，那么自然数n的值为 A、3                B、4                C、5                  D、6 参考答案： B 3. 数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式为（    ） A.    　　　B. C.    　 　　 D.   参考答案： A 4. 已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得： =1，解得k即可判断出结论． 【解答】解：由直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得： =1，解得k=． ∴p是q的充分不必要条件． 故选：A． 5. “”是“成等差数列”的（    ） A．充分不必要条件      B．必要不充分条件 C．充要条件            D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 6. 已知f（x）=x2+2x?f′（1），则 f′（0）等于（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣4 参考答案： D 【考点】导数的运算． 【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可． 【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1）， 令x=1，可得 f′（1）=2+2f′（1）， ∴f′（1）=﹣2， ∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4， 当x=0，f′（0）=﹣4． 故选D． 7. 矩形两边长分别为a、b，且，则矩形面积的最大值是（   ） A. 4 B. C. D. 2 参考答案： B 依题意可得，则当且仅当时取等号。所以，即矩形面积的最大值为，故选B 8. 已知双曲线 （ ， ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（   ） A.(1,2] B.(1,2) C. [2,+∞) D. (2,+∞) 参考答案： C 已知双曲线双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率 ，故选C 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件． 9. 如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，，，，则异面直线AB与PC所成的角为（   ） A．30°    B．120°   C．60°  D．45° 参考答案： C 10. 如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（　　） A．720 B．360 C．240 D．120 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的k，ρ的值，当有k=4，ρ=360时不满足条件k＜m，输出p的值为360． 【解答】解：执行程序框图，有 n=6，m=4 k=1，ρ=1 第一次执行循环体，ρ=3 满足条件k＜m，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12 满足条件k＜m，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60 满足条件k＜m，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360 不满足条件k＜m，输出p的值为360． 故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 任取x，y∈[0，3]，则x+y＞4的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可． 【解答】解：由题意可得，区域为边长为3的正方形，面积为9， 满足x+y＞4的区域的面积为=2， 由几何概型公式可得x+y＞4概率为， 故答案为：． 12. 已知为等差数列，，，为其前n项和，则使达到最大值的n等于                . 参考答案： 6 13. 已知数列满足：，且，则=          ． 参考答案： 14. 函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题： 函数=（xR）是单函数； 若为单函数， 若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象； 函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数. 其中的真命题是_______.（写出所有真命题的编号） 参考答案： ②③ 15. 已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[﹣,]，则满足f（x0）＞f（）的x0的取值范围为      ． 参考答案： [﹣,﹣)∪(,] 先充分考虑函数f（x）=x2﹣cosx，x∈的性质，为偶函数，其图象关于y轴对称，故考虑函数区间上的情形，利用导数可得函数在单调递增，再结合f（x0）＞f（）和对称性即可得x0的取值范围． 16. .用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色， （每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个 顶点皆不同色，则不同的染色方法有           种. 参考答案： 1020 略 17. 在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是　　 参考答案： （4，10] 【考点】程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：设输入x=a， 第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件； 故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82， 解得：a∈（4，10]， 故答案为：（4，10]． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数． （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．    参考答案： 解: （Ⅰ）的定义域为 ∵ ∴令,解得: ∴的单增区间是: （Ⅱ）∵， ∴． 即， 令， ∵，且， 由． ∴在区间内单调递增，在区间内单调递减． ∵，，， 又， 故在区间内恰有两个相异实根． 即． 综上所述，的取值范围是． 略 19. 正数满足,求的最小值. 参考答案： 1 略 20. 某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。该公司第n年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图。（1）求；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？ 参考答案： 解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：   （2）设纯收入与年数n的关系为f(n),则：   由f(n)>0得n2-20n+25<0   解得  因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利  （3）年平均收入为=20- 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。   21. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）由离心率公式和a，b，c的关系，由弦长为．解方程可得椭圆方程； （2）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），讨论直线AB与x轴重合和垂直，以及斜率存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到定值． 【解答】解：（1）由，设a=3k（k＞0）， 则，b2=3k2， 所以椭圆C的方程为， 因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即， 代入椭圆方程，解得y=±k，于是，即， 所以椭圆C的方程为； （2）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0）， 当直线AB与x轴重合时，有， 当直线AB与x轴垂直时，， 由，解得，， 所以若存在点E，此时，为定值2． 根据对称性，只需考虑直线AB过点， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组， 化简得，所以，， 又， 所以， 将上述关系代入，化简可得． 综上所述，存在点，使得为定值2． 22. 如图：是=的导函数的简图，它与轴的交点是（1,0）和（3,0） （1）求的极小值点和单调减区间                                                                              （2）求实数的值. 参考答案： （1）是极小值点-----3分        是单调减区间-----6分 （2）由图知 ，   -------12分   略