安徽省滁州市八波中学高三数学理联考试题含解析

安徽省滁州市八波中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的体积为π，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（　　） A． B．3+或 C．2+ D．或2+ 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图，即可得出． 【解答】解：设正方体的棱长为a，则=，解得a=1． 该几何体为正方体截去一角，如图 则剩余几何体的表面积为S=3×12++ =． 故选：A． 　 2. 已知函数，则一定在函数图像上的点是 A． B． C．    D． 参考答案： C 略 3. 已知复数在复平面上对应点为，则关于直线的对称点的复数表示是………………………………………………………………………………（      ）． .                　                  .               .  参考答案： 4. 若的展开式中各项系数的和为32，则该展开式的常数项为(    ) A.10 B.6 C.5 D.4 参考答案： A 5. 已知实数x，y满足的最大值为7，则a的值为  （ 　  ）     A．1 B．－1            C．             D．－ 参考答案： 答案：A 6. 已知幂函数通过点（2,2，则幂函数的解析式为（  ） A. B.        C.      D. 参考答案： C 7. 函数（其中）的图象如图1所示，为了得到的图象，则只需将的图象(    ) A.向右平移个长度单位  B.向右平移个长度单位 C.向左平移个长度单位  D.向左平移个长度单位                     参考答案： A 8. 的 A．充分不必要条件        B．必要不充分条件      C．充要条件              D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 9. 的分数指数幂表示为 (    )  A．            B． a 3            C．            D．都不对 参考答案： C 10. 等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a5=10，则a7等于（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 参考答案： C 【考点】84：等差数列的通项公式． 【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a5，代入数据求出a7的值． 【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10， ∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a5=10， 解得a7=8， 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 阅读下列材料，回答后面问题： 在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．” 对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为　　，你的理由是　                       ； 　                                     ． 参考答案： ①  数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系 数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数 【考点】收集数据的方法． 【分析】根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论 【解答】解：选①，理由为：数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数． 故答案为：①；数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数 12. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若，则∠C的大小为          ． 参考答案： ∵ ∴根据正弦定理可得 ∵ ∴，即 ∵ ∴ 故答案为.   13. 已知抛物线的焦点为，准线与y轴的交点为为抛物线上的一点，且满足，则的取值范围是． 参考答案： 略 14. 某高中共有2000名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30、30名学生，则该校高三有          _________名学生． 参考答案： 800  15. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为          ． 参考答案： 略 16. 如图，在△ABC中，AB=，点D在边BC上，BD=2DC，cos∠DAC=，cos∠C=，则AC=　　． 参考答案： 考点： 解三角形．  专题： 解三角形． 分析： 根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出BD，CD和AD的长度，即可得到结论． 解答： 解：∵BD=2DC， ∴设CD=x，AD=y，则BD=2x， ∵cos∠DAC=，cos∠C=， ∴sin∠DAC=，sin∠C=， 则由正弦定理得， 即，即y=， sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=×+×=， 则∠ADB=，， 在△ABD中，， 即2=4x2+2x2﹣2×=2x2， 即x2=1，解得x=1，即BD=2，CD=1，AD= 在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD?CDcos=2+1﹣2×=5， 即AC=， 故答案为：． 点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键． 17. 给出右面的程序框图，则输出的结果为_________. 参考答案： 4 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）     如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD⊥平面AC，在△PAD中 ，E为AD中点，PA=PD。    （I）证明：PA⊥BE；    （II）若，求点D到平面PBC的距离。   参考答案： 略 19. 如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 参考答案： （1）证明：取中点,连结. 由题意可得, 因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面. 因为, 所以平面平面, 又平面, 所以平面. （2）解：取的中点,连接. 由题意可得两两垂直,以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 令，则.[来源:学科网] 所以. 设平面的法向量 则 令，则 因为是平面的一个法向量 所以 所以锐二面角的余弦值为. 20. 设数列{an}满足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2） （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列b1=，4bn=an﹣1an，设{bn}的前n项和Tn．证明：Tn＜1． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）由已知得，从而推导出{}是首项为1，公差为的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式． （Ⅱ）由bn==，利用错位相减法能证明Tn＜1． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵数列{an}满足：a1=1，3a2﹣a1=1，且=（n≥2）， ∴，…（1分） 又a1=1，3a2﹣a1=1， ∴，∴ =，…（3分） ∴{}是首项为1，公差为的等差数列，… ∴=1+， ∴an=．…（7分） （Ⅱ）证明：∵数列b1=，4bn=an﹣1an， ∴bn==，…（9分） ∴Tn=b1+b2+…+bn=（1﹣）+（）+…+（）=＜1． 故Tn＜1．…（12分） 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用． 21. 随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图： 根据一周内平均每天学习数学的时间，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级： 学习时间（分钟/天） 喜好等级 一般 爱好 痴迷 （Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数（精确到）； （Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值与及方差与的大小关系（只需写出结论），并计算其中的、（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅲ）从甲高中与乙高中随机抽取的名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取人，求选出的人中甲高中与乙高中各有人的概率. 参考答案： （Ⅰ）由样本估计总体的思想，甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数； （Ⅱ）；； ； . （Ⅲ）甲高中随机选取的名学生中“痴迷”的学生有人，记为，；乙高中随机选取的名学生中“痴迷”的学生有人，记为，，，，，. 随机选出人有以下种可能： ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， 甲、乙两所高中各有人，有以下种可能： ，，，，，， ，，，，，. 所以，从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出人，选出的人中甲、乙两所高中各有人的概率为. 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），若以直角坐标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为． （1）求直线的倾斜角； （2）若直线与曲线交于两点，求AB． 参考答案：