天津滨湖学校高一数学理上学期期末试卷含解析

天津滨湖学校高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，若关于x的方程f（x）=k有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4） B．[﹣4，﹣3] C．（﹣4，﹣3] D．[﹣3，+∞） 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】作出函数的图象，结合图象，能求出实数k的取值范围． 【解答】解：作出函数的图象，如下图： ∵关于x的方程f（x）=k有三个不等的实根， ∴函数的图象与直线y=k在三个不同的交点， 结合图象，得：﹣4＜k≤﹣3． ∴实数k的取值范围是（﹣4，﹣3]． 故选C． 2. 已知集合M＝｛x｜－1≤x＜2｝，N＝｛x｜x—a≤0｝，若M∩N≠，则a的取值范围是（　　） A．（－∞，2） B．（－1，＋∞） C．［－1，＋∞)  D．［－1，1］ 参考答案： C 3. 函数的单调递增区间为（　　） A．（﹣∞，1） B．（2，+∞） C．（﹣∞，） D．（，+∞） 参考答案： A 【考点】对数函数的单调区间． 【分析】本题是一个复合函数，外层是一个递减的对数函数故求出函数的定义域以及内层函数的单调区间，依据复合函数的单调性判断规则做出判断求出内层函数的增区间即为复合函数的递增区间，从而找出正确选项即可． 【解答】解：由题意，此复合函数，外层是一个递减的对数函数 令t=x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1 由二次函数的性质知，t在（﹣∞，1）是减函数，在（2，+∞）上是增函数， 由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间（﹣∞，1） 故选A 【点评】本题考查用复合函数的单调性求单调区间，此题外层是一对数函数，故要先解出函数的定义域，在定义域上研究函数的单调区间，这是本题易失分点，切记！ 4. 若，则 (   ) A. 1 B. －1 C. D. 参考答案： A 【分析】 根据可得的关系，结合可得. 【详解】因为，所以，所以，故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的同角关系，利用弦函数的关系可得切函数的值，侧重考查数学运算的核心素养. 5. 如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（　　） A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60° 参考答案： D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°． 【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确； C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确； D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45° 故选D 【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力． 6. 如果，那么 A. B. C. D. 参考答案： D ，，即故选D 7. 不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A. 或 B. C. D. 或 参考答案： A 不等式的解集为, 的两根为，，且， 即,解得 则不等式可化为 解得 故选A 8. 若，则对说法正确的是 A．有最大值　　　 B．有最小值 C．无最大值和最小值  D．无法确定 参考答案： Ｂ 9. 已知函数f(x)= （e为自然对数的底数），则方程2f(x)-l=0的实数根的个数为    (    )   A．1    B．2    C．3    D．4 参考答案： B 10. 记数列{an}的前n项和为Sn，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列{an}为“和有界数列”. 下列命题正确的是(     ) A．若{an}是等差数列，且首项，则{an}是“和有界数列” B．若{an}是等差数列，且公差，则{an}是“和有界数列” C．若{an}是等比数列，且公比，则{an}是“和有界数列” D．若{an}是等比数列，且{an}是“和有界数列”，则{an}的公比 参考答案： C 对于A，若是等差数列，且首项，当d>0时， ，当时，，则不是“和有界数列”，故A不正确． 对于B，若是等差数列，且公差，则，当时，当时，，则不是“和有界数列”，故B不正确． 对于C，若是等比数列，且公比|q|<1，则，故 ，则是“和有界数列”，故C正确． 对于D，若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比或，故D不正确． 故选C．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 计算：________. 参考答案： 3 【分析】 直接利用数列的极限的运算法则求解即可． 【详解】. 故答案为：3 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题． 12. 幂函数的图像经过点，则的解析式是            . 参考答案：   13. 函数的定义域是______________； 参考答案： 略 14. 已知正实数x，y满足＋＝，则xy的最小值等于_______。 参考答案： 15. 若正数满足，则的取值范围是               参考答案： 16. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为______． 参考答案： 8 17. 若在△ABC中，则=_______。 参考答案：  解析：             三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分１２分）设函数,, ，其中. 记函数的最大值与最小值的差为，求的表达式并求的最小值. 参考答案： 当时，， 当时， 若,则在上递增， ， 若,则在上递减， ， ， ， ， 　　　　 的最小值为. 19. 已知等差数列{an}的公差，数列{bn}满足，集合. （1）若，，求集合S； （2）若，求d使得集合S恰有两个元素； （3）若集合S恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{an}的通项公式及集合S. 参考答案： （1）；（2）或；（3）或4，时，，；时，， 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合 【详解】（1）等差数列的公差，，数列满足， 集合． 当， 所以集合，0，． （2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图： 根据三角函数线， ①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时， ②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时， 综上，或者． （3）①当时，，集合，，，符合题意． 与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时. ②当时，，，，或者， 等差数列的公差，，故，，又，2 当时满足条件，此时，1，． 与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题． 20. （13分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点． （1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （写一般式） （2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长． 参考答案： 考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 计算题． 分析： （1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线l的斜率，再由点斜式方程可得到直线l的方程，最后化简为一般式即可． （2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线l的距离，进而根据勾股定理可求出弦长． 解答： （1）圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0）， 因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2， 直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0． （2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1， 直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0 圆心C到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为． 点评： 本题主要考查直线与圆的位置关系，高考中对直线与圆的方程的考查以基础题为主，故平时就要注意基础知识的积累和应用，在考试中才不会手忙脚乱． 21. (本题满分16分) 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，且对任意的n∈N*，都有a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋anbn＝n·2n+3． （1）若{bn}的首项为4，公比为2，求数列{an＋bn}的前n项和Sn； （2）若a1＝8．    ①求数列{an}与{bn}的通项公式；    ②试探究：数列{bn}中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它r（r∈N， r≥2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由． 参考答案： （1）∵a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋anbn＝n·2n+3 ∴a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋an－1bn－1＝(n－1)·2n+2 (n≥2) 两式相减得：anbn＝n·2n+3－(n－1)·2n+2＝(n＋1)·2n+2 (n≥2) 而当n＝1时，a1b1＝24适合上式，∴anbn＝(n＋1)·2n+2  (n∈N*) ∵{bn}是首项为4、公比为2的等比数列 ∴bn＝2n+1   即k(2－q)n2＋b(2－q)n＋2(b－k)＝0对任意的n≥2恒成立，     又∵a1＝8，∴k＋b＝8∴k＝b＝4，∴an＝4n＋4，bn＝2n ②假设数列{bn}中第k项可以表示为该数列中其它r项的和，即，从而，易知k≥tr＋1  ∴k＜tr＋1，此与k≥tr＋1矛盾，从而这样的项不存在． 22. 已知直线恒过定点P，圆C经过点和定点P，且圆心在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知点P为圆C直径的一个端点，若另一端点为点Q，问y轴上是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 参考答案： （1）；（2）见解析 【分析】 （1）先求出直线过定点，设圆的一般方程，由题意列方程组，即可求圆的方程； （2）由（1）可知：求得直线的斜率，根据对称性求得点坐标，由在圆外，所以点不能作为直角三角形的顶点，分类讨论，即可求得的值． 【详解】(1)直线的方程可化为，由解得 ∴定点的坐标为． 设圆的方程为，则圆心 则依题意有 解得 ∴圆的方程为； (2)由(1)知圆的标准方程为,∴圆心，半径. ∵是直径的两个端点，∴圆心是与的中点， ∵轴上的点在圆外，∴是锐角，即不是直角顶点． 若是的直角顶点，则，得；         若是的直角顶点，则，得.       综上所述，在轴上存在一点，使为直角三角形，或. 【点睛】本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，属于中档题．