上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高一数学理月考试题含解析

上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=ax+b的图象如图所示，则g（x）=loga（x+b）的图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质． 【分析】结合函数f（x）=ax+b的图象知0＜a＜1，b＞1，故y=logax的图象单调递减，由此能得到g（x）=loga（x+b）的图象． 【解答】解：∵函数f（x）=ax+b的图象如图所示， ∴0＜a＜1，b＞1， 故y=logax的图象单调递减， ∵g（x）=loga（x+b）的图象是把y=logax的图象沿x轴向左平移b（b＞1）个单位， ∴符合条件的选项是D． 故选D． 2. 已知，则的表达式为（ ）   B．  C．  D． 参考答案： A 3. 已知点D是△ABC所在平面上一点，满足，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由易得D为的五等分点，且选项是和的关系，通过，代入整理即可得到。 【详解】 ， 即 故选：C 【点睛】此题考查平面向量的运算，观察选项是要得到 与和的关系，所以通过两个三角形将表示出来化简即可，属于较易题目。 4. 若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（  ） A．         B．         C．          D． 参考答案： A 略 5. 设是三角形的一个内角，在中可能为负数的值的个数是（    ） A．2           B．3            C．4            D．5 参考答案： A 由题意设，得，若，则，根据三角函数值的定义，可能为负数的有，；若，则，可能为负数的有，，故正确答案为A.   6. 计算机成本不断降低，若每隔三年计算机价格降低，则现在价格为8100                           元的计算机,9年后价格可降为（    ）    A.2400元         B.900元        C.300元        D.3600元 参考答案： A 7. 函数f（x）=4﹣4x﹣ex（e为自然对数的底）的零点所在的区间为（　　） A．（1，2） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0） 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题． 【分析】先判断函数的单调性，然后结合选项，利用零点判定定理即可求解 【解答】解：∵f（x）=4﹣4x﹣ex单调递减 又∵f（0）=3＞0，f（1）=﹣e＜0 由函数 的零点判断定理可知，函数f（x）的零点在区间（0，1） 故选B 【点评】本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础试题 8. 若θ是第三象限角，且，则是 （ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 参考答案： B 9. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（  ） A.5            B.4    C. 3        D.2 参考答案： C 略 10. 若f(x)=tan,则         (      )    A.f(0)>f(-1)>f(1)   B.f(0)>f(1)>f(-1)   C.f(1)>f(0)>f(-1)   D.f(-1)>f(0)>f(1) 参考答案： 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知幂函数的图象经过点（2，32）则它的解析式f（x）=        ． 参考答案： x5 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式． 【解答】解：设幂函数为y=xa，因为幂函数图象过点（2，32）， 所以32=2a，解得a=5， 所以幂函数的解析式为y=x5． 故答案为：x5 【点评】本题考查幂函数的函数解析式的求法，幂函数的基本知识的应用． 12. △ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件： （1）（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab （2）sinA=2cosBsinC （3）b=acosC，c=acosB （4）2R(sin2A－sin2C)=(a－b)sinB 有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形． 请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题　                 ． 参考答案： （1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙 【分析】若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式变形得到关于a，b及c的关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的关系式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C为60°，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，从而得到三角形为等边三角形； 若（2）（4）→乙，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B﹣C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B﹣C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，再利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，从而得到三角形为等腰直角三角形； 若（3）（4）→乙，利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，再利用正弦定理化简（3）中的两等式，分别表示出sinA，两者相等再利用二倍角的正弦函数公式，得到sin2B=sin2C，由B和C都为三角形的内角，可得B=C，从而得到三角形为等腰直角三角形．三者选择一个即可． 【解答】解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下： 证明：由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，变形得： a2+b2+2ab﹣c2=3ab，即a2+b2﹣c2=ab， 则cosC==，又C为三角形的内角， ∴C=60°， 又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC， 即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0， ∵﹣π＜B﹣C＜π， ∴B﹣C=0，即B=C， 则A=B=C=60°， ∴△ABC是等边三角形； 以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为： 证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC， 即sinBcosC﹣cosBsinC=sin（B﹣C）=0， ∵﹣π＜B﹣C＜π， ∴B﹣C=0，即B=C， ∴b=c， 由正弦定理===2R得： sinA=，sinB=，sinC=， 代入得： 2R?（﹣）=（a﹣b）?， 整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab， ∴a=b， ∴a2=2b2，又b2+c2=2b2， ∴a2=b2+c2， ∴∠A=90°， 则三角形为等腰直角三角形； 以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为： 证明：由正弦定理===2R得： sinA=，sinB=，sinC=， 代入得： 2R?（﹣）=（a﹣b）?， 整理得：a2﹣b2=ab﹣b2，即a2=ab， ∴a=b， ∴a2=2b2，又b2+c2=2b2， ∴a2=b2+c2， ∴∠A=90°， 又b=acosC，c=acosB， 根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB， ∴=，即sinBcosB=sinCcosC， ∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角， ∴2B=2C，即B=C， 则三角形为等腰直角三角形． 故答案为：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙 【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，勾股定理，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，属于条件开放型题，是一类背景新、解题活、综合性强、无现成模式的题型．解答此类题需要运用观察、类比、猜测、归纳、推理等多种探索活动寻求解题策略． 　 13. 已知等腰三角形的底角的正弦值等于，则该三角形的顶角的余弦值为         参考答案： 14. 在△ABC中，已知，过边AC上一点D作直线DE，与边AB或者BC相交于点E，使得，且DE将△ABC的面积两等分，则                  ． 参考答案： 15. （5分）已知sinα+cosα=，且0＜α＜，则sinα﹣cosα的值为      ． 参考答案： ﹣ 考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用完全平方公式，先求出2sinαcosα，即可得到结论． 解答： 由sinα+cosα=， 平方得1+2sinαcosα=， 则2sinαcosα=， ∵0＜α＜， ∴sinα﹣＜cosα，即sinα﹣cosα＜0， 则sinα﹣cosα=﹣==﹣， 故答案为：﹣； 点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 16. 已知且，则的值是            ． 参考答案：   17. 设函数，区间，集合，则使成立的实数对有   ▲   对． 参考答案： 3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积. 参考答案： 18. 解答：解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=,  ∵△ABC为锐角三角形    ∴A+B=120°,  C=60°, 又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,    a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,   ∴c=,  S△ABC=absinC=×2×= . 略 19. 在中，分别是角的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 参考答案： 解：（１）因为，所以       　　　即 　　　　，　　　　　　　 　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　（２）由余弦定理：　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 略 20. 已知函数（a＞0，a≠1）． （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明； （3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值． 参考答案： 【考点】对数函数图象与性质的综合应用． 【分析】（1）先求函数的定义域看是否关于原点对称，然后在用奇偶函数的定义判断，要注意到代入﹣x时，真数是原来的倒数，这样就不难并判断奇偶性． （2）用单调性的定义进行证明，首先在所给的区间上任取两个自变量看真数的大小关系，然后在根据底的不同判断函数单调性． （3）要根据第二问的结论，进行分