广东省广州市第七十二中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

广东省广州市第七十二中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设实数x，y满足不等式组则的取值范围是 A．[0，]         B．[，]        C．[0，]         D．[，] 参考答案： B 略 2. 函数的部分图象如图所示，若，且，则(   ) A． 　   　 B．        C．   　　  D． 参考答案： D 3. 设函数，且其图像关于直线对称，则（   ） A．的最小正周期为，且在上为增函数 B．的最小正周期为，且在上为减函数 C．的最小正周期为，且在上为增函数 D．的最小正周期为，且在上为减函数   参考答案： B 略 4. 函数为奇函数，该函数的部分图像如图所示，、分别为最高点与最低点，并且，则该函数图象的一条对称轴为(  ) A. B. C. D. 参考答案： D 5. 已知函数，又互不相同的满足：，则的取值范围是（    ） A      B       C      D   参考答案： C 6. 直线l：过点，若可行域的外接圆的面积为，则实数n的值为 A．8                B．7 C．6                       D．9 参考答案： 答案：A 7. 的值是 A．                                B． C．                               D． 参考答案： C 8. 计箅的结果等于 A.       B.         C.        D. 参考答案： A 9. 设，，则=（   ）     A.       B.      C.     D. 参考答案： B 略 10. 已知集合,则等于 A.             B. C.             D. 参考答案： D 由不等式得，又，故,故选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约______________万里 参考答案： 答案：4 12. 定义在区间上的连续函数y=f(x),如果$?[a,b],使得f(b)?f(a)=(b?a),则称为区间[a,b]上的“中值点”． 下列函数：①f(x)=3x+2；②f(x)=x2?x+1；③f(x)=(x+1)；④f(x)=(x?)3中,在区间上“中值点”多于一个的函数序号为_______．(写出所有满足条件的函数的序号) 三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 参考答案： ①④__ 略 13. 已知数列中，，（），则          ． 参考答案： 14. 已知，［x］表示不大于x的最大整数，如，，，则使成立的x的取值范围是_____________ 参考答案： 略 15. 已知向量，且则k=         。 参考答案： 2 16. 由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于， 则这组数据为__________。（从小到大排列） 参考答案： 这组数据为_________ 不妨设得： ①如果有一个数为或；则其余数为，不合题意 ②只能取；得：这组数据为 17. 已知集合A＝(0，+∞)，全集U＝R ，则＝       ． 参考答案： (－∞，0] ∵集合A＝(0，+∞)，全集U＝R ，则＝(－∞，0]． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)如图，菱形的边长为4，，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求三棱锥的体积.                                   参考答案： 19. 已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）． （1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间； （2）若函数y=f（x）在上无零点，求a的最小值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可； （2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可． 【解答】解：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx， ∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a， 又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2， 由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2， ∴函数g（x）在（0，2）递减； （2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能， 故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立， 即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立， 令l（x）=2﹣，x∈（0，）， 则l′（x）=， 再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，）， 则m′（x）=＜0， 故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0， 从而f′（x）＞0，于是l（x）在（0，）递增， ∴l（x）＜l（）=2﹣4ln2， 故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞）， 综上，若函数y=f（x）在上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2． 20. （12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1． （Ⅰ）求证：A1B⊥AD； （Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值． 参考答案： 【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质． 【专题】： 空间位置关系与距离；空间角． 【分析】： （Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得A1B⊥AD； （Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．  （Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B⊥AD； （Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1， 由题意知DO⊥平面ABB1A1． 因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B， 故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴 的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示． 设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，， 所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0）， B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）． 由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a）， 设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0）， 由?=?=0，得， 取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）． 又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a）， 所以===， 故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为． 【点评】： 本题考查二面角，空间中两直线的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题． 21. （本小题满分12分） 已知 （Ⅰ）当时，求的极大值点； （Ⅱ）设函数的图象与函数的图象交于、两点，过线段的中点做轴的垂线分别交、于点、，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行. 参考答案： 注意到，此等式为能否成立？能成立，说明存在平行，不能成立说明不能平行.设，仍然用导数的知识来研究函数的性质，，即是增函数，从而在时，，即等式不可能成立，假设不成立，结论得证. （II）设P、Q的坐标分别是. 则M、N的横坐标. ∴C1在点M处的切线斜率为 ， C2在点N处的切线斜率为.………………………………7分 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则， 即……………………………………………………8分 22. 已知函,将满足的所有正数 从小到大排成数列,记,. （1）证明数列为等比数列; （2）求数列的前项的和; （3）若，求数列的前项的和. 参考答案： 略