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2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形
2．从一个装有3个红球、2个白球的盒子里（球除颜色外其他都相同），先摸出一个球，不再放进盒子里，然后又摸出一个球，两次摸到的都是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
4．如图，在中，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板饶点旋转，两条直角边始终与边分别相交于，则在运动过程中，与的关系是（ ）
A．一定相似 B．一定全等 C．不一定相似 D．无法判断
5．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△∽△，若，，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
8．方程的两根分别为（ ）
A．＝－1，＝2 B．＝1，＝2 C．＝―l，＝－2 D．＝1，＝－2
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（ ）
A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n
11．如图，将一边长AB为4的矩形纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若EF＝2，则矩形的面积为（ ）
A．32 B．28 C．30 D．36
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是( )
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cosA=
二、填空题（每题4分，共24分）
13．关于的一元二次方程有一个解是，另一个根为 _______．
14．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，－1）的抛物线的表达式：______
15．关于的方程一个根是1，则它的另一个根为________．
16．在△ABC中，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∠ABD＝∠ACE＝30°，连接DE．若DE＝5，则BC长为_____．
17．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为 ．
18．点A（﹣5，y1），B（3，y2）都在双曲线y＝，则y1，y2的大小关系是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．
（1）如图1，正方形的边长为4，E为的中点，，连结.，求证：为四边形的相似对角线．
（2）在四边形中，，，，平分，且是四边形的相似对角线，求的长．
（3）如图2，在矩形中，，，点E是线段（不取端点A．B）上的一个动点，点F是射线上的一个动点，若是四边形的相似对角线，求的长．（直接写出答案）
20．（8分）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，
（1）若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？
（2）在矩形EFGH中，设，，
①求与的函数关系，并求出自变量的取值范围；
②取多少时，有最大值，最大值是多少？
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
22．（10分）我们规定：方程的变形方程为．例如：方程的变形方程为．
（1）直接写出方程的变形方程；
（2）若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（3）若方程的变形方程为，直接写出的值．
23．（10分）解方程：
（1）；
（2）．
24．（10分）如图一座拱桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线.当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m.、
（1）建立平面直角坐标系，并求该抛物线的函数表达式；
（2）若水面上升1m，水面宽度将减少多少？
25．（12分）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”.如：如图，已知的两条弦，则、互为“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”.
（1）若的半径为5，一条弦，则弦的“十字弦”的最大值为______，最小值为______.
（2）如图1，若的弦恰好是的直径，弦与相交于，连接，若，，，求证：、互为“十字弦”；
（3）如图2，若的半径为5，一条弦，弦是的“十字弦”，连接，若，求弦的长.
26．如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，直线经过点、.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，求面积的最大值并求出此时点的坐标；
（3）过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的一个夹角等于的3倍时，请直接写出点的坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】利用正方形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】A、一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不合题意；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不合题意；
D、有一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的性质以及判定定理是解题的关键．
2、D
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次都是红球的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红球的有6种情况，
∴两次摸到的球的颜色相同的概率为：．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3、C
【解析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、购买一张彩票，中奖，是随机事件，故A不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故C符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件、不可能事件，随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
4、A
【分析】根据已知条件可得出，，再结合三角形的内角和定理可得出，从而可判定两三角形一定相似．
【详解】解：由已知条件可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
继而可得出，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．
5、C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可.
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键.
6、C
【分析】根据相似三角形的性质，列出对应边的比，再根据已知条件即可快速作答.
【详解】解：∵△∽△
∴
∴ 解得：AB=4
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找对相似三角形的对应边，并列出比例进行求解.
7、B
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形．
【详解】从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：
故选B．
【点睛】
考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．
8、D
【解析】（x－1）（x＋1）=0，可化为：x－1=0或x＋1=0，解得：x1=1，x1=－1．故选D
9、B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．
【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，
∴AM＝BM，
∴∠B＝∠BAM，①正确；
②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，
∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；
③∵∠BAC＝90°，AH是高，
∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，
∴∠B＝∠CAH，③正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．
10、D
【解析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【详解】∵y=−的k=-2＜1，图象位于二四象限，a＜1，
∴P（a，m）在第二象限，
∴m＞1；
∵b＞1，
∴Q（b，n）在第四象限，
∴n＜1．
∴n＜1＜m，
即m＞n，
故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜1时，图象位于二四象限是解题关键．
11、A
【分析】连接BD交EF于O，由折叠的性质可推出BD⊥EF，BO＝DO，然后证明△EDO≌△FBO，得到OE＝OF，设BC＝x，利用勾股定理求BO，再根据△BOF∽△BCD，列出比例式求出x，即可求矩形面积．
【详解】解：连接BD交EF于O，如图所示：
∵折叠纸片使点D与点B重合，折痕为EF，
∴BD⊥EF，BO＝DO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
在△EDO和△FBO中，
∵∠EDO=∠FBO，DO=BO，∠EOD=∠FOB=90°
∴△EDO≌△FBO（ASA）
∴OE＝OF＝EF＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设BC＝x，
BD＝＝，
∴BO＝，
∵∠BOF＝∠C＝90°，∠CBD＝∠OBF，
∴△BOF∽△BCD，
∴＝，
即：＝，
解得：x＝8，
∴BC＝8，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝4×8＝32，
故选：A．
【点睛】
本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12、B
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