湖南省常德市大龙站中学2023年高二数学文期末试题含解析

湖南省常德市大龙站中学2023年高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则函数的最小值为（    ） A．1           B．2             C．3               D．4 参考答案： C 2. 函数的最大值为（   ） A．1   B．   C．   D．2 参考答案： B 3. 双曲线的渐近线方程为（    ） .     .   .    . 参考答案： C 略 4. 已知a，b都是实数，那么“”是“”的（  ） A.充要条件              B．必要不充分条件       C.充分不必要条件         D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 由可得a>b，但a,b的具体值不知道，当a=1，b=-2时成立，但无法得到故充分性不成立，再由，例如a=-2，b=-1，但得不到，故必要性也不成立，所以综合得：既不充分也不必要   5. 已知椭圆，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是 A.1    B.    C.    D. 参考答案： C 6. 在等差数列{an}中，若，则的值为（  ） A. 15 B. 18 C. 21 D. 24 参考答案： B 【分析】 根据等差数列的性质求解. 【详解】因为，且， 则，所以．选B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 7. a 是一个平面，是一条直线，则 a 内至少有一条直线与 A．垂直   B．相交    C．异面 D．平行 参考答案： A 8. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 9. 下列计算错误的是（　　） A.    B.    C.   D. 参考答案： C 10. 已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线和圆x2+y2+6x+8=0相切，则实数p=（　　） A．p=4 B．p=8 C．p=4或p=8 D．p=2或p=4 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】将圆化成标准方程，得到圆心为C（﹣3，0），半径r=1．再将抛物线化成标准方程，得到抛物线的准线为x=﹣，根据准线与圆相切建立关于p的等式，解之即可得到p的值． 【解答】解：圆x2+y2+6x+8=0化成标准方程，得（x+3）2+y2=1， ∴圆心为C（﹣3，0），半径r=1， 又∵抛物线y2=2px（p＞0）， ∴抛物线的准线为x=﹣， ∵抛物线的准线与圆相切， ∴准线到圆心C的距离等于半径，得|3﹣|=1，解之得p=4或p=8． 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，      则_____. 参考答案： 12. 设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则sinθ=　    　． 参考答案： 【考点】H2：正弦函数的图象． 【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据当x=θ时f（x）取得最大值，建立关系．利用和与差公式或者诱导公式即可得解． 【解答】解：函数f（x）=2sinx﹣cosx 化简可得：， （其中是锐角）， 由题意：sin（x﹣θ0）=1． 法一：sinθ=sin[（θ﹣θ0）+θ0]=sin（θ﹣θ0）cosθ0+cos（θ﹣θ0）sinθ0=． 法二：∵sin（x﹣θ0）=1． ∴， =． 故答案为：． 13. 如图是样本容量为200的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为       。 参考答案： 64 14. 若函数 ，则方程 的实根个数为________；若函数 ，则方程的实根个数为________ 参考答案： 3     9 【分析】 由外及里逐层分析即可得到复合方程实根的个数. 【详解】（1）由可得：或 又， ∴，解得：， 故方程 的实根个数为3个； （2）设，由，可得： 易知的两个极值点为x=-1和x=1， 又，，作出函数的图象， 由三个实数根，， 再由，结合图象可知：每个t值均对应3个x值， 故答案为：3,9 【点睛】本题考查求复合方程实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 15. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有点数）两次，骰子朝上的面的 点数依次记为和，则双曲线为等轴双曲线的概率为    ． 参考答案： 16. 盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____. 参考答案： 试题分析：从5个球中任选2个，共有种选法.2个球颜色不同，共有种选法.所以所求概率为. 17. 过椭圆+=1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为　　． 参考答案： x+2y﹣4=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程 【解答】解：设直线与椭圆交于点A，B，设A（x1，y1），B（x2，y2） 由题意可得，两式相减可得 由中点坐标公式可得，， ==﹣ ∴所求的直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣2）即x+2y﹣4=0 故答案为x+2y﹣4=0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数． （1）讨论的单调性； （2）设，证明当时，． 参考答案： （1）的增区间为(0,1)，减区间为；（2）见解析 【分析】 （1）求得，分别令，，即可求得的增、减区间。 （2）求得，即可判断在上单调递减，利用（1）可得，令，利用导数可判断在上递减，结合，即可判断，从而可判断：存在唯一的，使得，结合在上的单调性及即可证得结论成立。 【详解】函数的导数为， 由，可得；由，可得． 即有的增区间为，减区间为； （2）证明：设，， ， 在上单调递减， 而，， 由中单调性，可得： ， 记：，（） 所以 所以在上递减 所以， 所以， ，使得， 即时，， 时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 又， 可得， 则，当时，成立． 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，还考查了利用导数判断函数的零点存在性，考查了利用导数证明不等式恒成立知识，考查转化能力及计算能力，属于难题。 19. 如图，四棱锥的底面为矩形，且，，， （Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．  参考答案： （I）平面平面；    证明：由题意得且 又，则     则平面,                 故平面平面        （Ⅱ）以点A为坐标原点，AB所在的直线为ｙ轴建立 空间直角坐标系如右图示，则,, 可得, 平面ABCD的单位法向量为， 设直线PC与平面ABCD所成角为，则   则，即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值  20. 已知椭圆的离心率为，直线与圆相切． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆的交点为，求弦长．       参考答案： 解：（1）又由直线与圆相切得，…2分 由得，………………………………… 4分 ∴椭圆方程为…………………………………………………6分 （2）…………8分 ，设交点坐标分别为………9分 则…………………………………………………11分 从而 所以弦长…………………………………………………………14分.   略 21. 用秦九韶算法求多项式, 当时的值. 参考答案： 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: 按照从内到外的顺序依次计算一次多项式,当时的值   ∴当时，多项式的值为 21． 在程序语言中，下列符号分别表示什么运算    * ；＼ ；∧ ；SQR（ ） ；ABS（ ）？ 【答案】乘、除、乘方、求平方根、绝对值 22. 在△中，角的对边分别为 向量=, =，且. （1）求锐角的大小；（2）如果，求△的面积的最大值。 参考答案： （1）  （2） 解析：（1）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥， ∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B， ∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B， ∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π）， ∴2B=，则B=；…（6分） （2）∵B=，b=2， ∴由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0， 又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立）， ∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立）， 则S△ABC的最大值为．…（12分） 略