福建省三明市文江中学高三数学理上学期期末试题含解析

福建省三明市文江中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（    ） A．3π         B．2π       C．         D．4π 参考答案： A 2. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下： 那么方程的一个最接近的近似根为（     ） A．            B．           C．           D． 参考答案： C 因为，，由零点存在定理知，最接近的近似根为. 3. 函数的反函数是          （    ）        A．                           B．        C．                         D． 参考答案： 答案:B 4. 《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 S的值为 360，则判断框中可以填(    ) A. B. C. D. 参考答案： C 分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 详解：模拟程序的运行，可得 S=0，i=1 执行循环体，S=290，i=2 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体， 由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 的值为360． 可得判断框中的条件为． 故选：C． 点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题   5. 已知，则的最小值是（   ） A．4      B．3       C．2       D．1 参考答案： A 6. 已知数列满足，则数列的通项公式     (A)   （B）    （C）    （D） 参考答案： A 由得 上面个式子相加得 7. 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（   ） A．             B．       C． D． 参考答案： D 8. 将名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有 A．36种          B．24种     C．18种    D．12种 参考答案： A 略 9. 要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（） A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法 B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法 C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法 D.（1）（2）都用分层抽样法 参考答案： C 试题分析：：（1）由于家庭收入差异较大，故（1）应该使用分层抽样． （2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，由于人数较少，故使用简单随机抽样，1 考点：抽样方法 10. 已知a,b是单位向量，且，若平面向量p满足则= A.     B.1    C.   D.2 参考答案： B 解： ∵a,b是单位向量  ∴  ∵ ∵ ∴ 由右图可知=1 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 有以下几个命题  ①曲线按平移可得曲线； ②直线AB与平面相交于点B，且AB与内相交于点C的三条互不重合的直线CD、CE、CF所成的角相等，则AB⊥； ③已知椭圆与双曲线有相同的准线，则动点的轨迹为直线 ④若直线在平面内的射影依次为一个点和一条直线，且，则； ⑤设A、B为平面上两个定点，P为动点，若，则动点P的轨迹为圆 其中真命题的序号为               ;（写出所有真命题的序号）　 参考答案： 答案:②⑤ 12. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若a=4，b=5，△ABC的面积为．则c=　 　； sinA=　  　． 参考答案： ；． 【考点】三角形中的几何计算． 【分析】利用三角形的面积公式求出sinC，然后求出cosC，利用余弦定理求出c的值，利用正弦定理求出sinA． 【解答】解：因为a=4，b=5，△ABC的面积为． 所以， 所以sinC=，所以cosC=． 由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=16+25﹣20=21． 所以c=． 由正弦定理可知sinA===． 故答案为：；． 13. 集合共有      个真子集. 参考答案： 7 略 14. 对任意数列，定义为数列，如果数列A使得数列的所有项都是1，且   ▲   ． 参考答案： 100 15. 若函数且有两个零点，则实数的取值范围是      ． 参考答案： 作图分析知当时只有一个零点，当时有两个零点 16. 如图4，为⊙的直径，，弦交于点． 若，，则的长为      ． 参考答案： 1 略 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a=　　． 参考答案： ． 【分析】由题意，直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a==﹣，即可得出结论． 【解答】解：由题意，直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a==﹣， ∴a=． 故答案为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分） 函数 （Ⅰ）若，在处的切线相互垂直，求这两个切线方程． （Ⅱ）若单调递增，求的范围． 参考答案： 解：（I）, 高考资源网w。w-w*k&s%5￥u    ∴       ∵两曲线在处的切线互相垂直   ∴   ∴ ∴   ∴在 处的切线方程为， 同理，在 处的切线方程为………………6分 (II) 由 得  ……………8分 ∵单调递增    ∴恒成立 即                             ……………10分 令高考资源网w。w-w*k&s%5￥u    令得，令得 ∴ ∴的范围为                   ……………13分 略 19. （本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 在直三棱柱中, ,，求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）四棱锥的体积． 参考答案： (1)；(2)． 试题分析：(1)求异面直线所成的角，就是根据定义作出这个角，当然异面直线的平移，一般是过其中一条上的一点作另一条的平行线，特别是在基本几何体中，要充分利用几何体中的平行关系寻找平行线，然后在三角形中求解，本题中∥，就是我们要求的角(或其补角)；(2)一种方法就是直接利用体积公式，四棱锥的底面是矩形，下面要确定高，即找到底面的垂线，由于是直棱柱，因此侧棱与底面垂直，从而，题中又有，即，从而，故就是底面的垂线，也即高． 20. 近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现． 现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表． 猪生长的三个阶段 阶段 幼年期 成长期 成年期 重量（Kg） [2,18) [18,82) [82,98] 根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布 . 由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．     已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，． （Ⅰ）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量； （Ⅱ）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪 ，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元．记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值． （参考数据：若，则，，） 参考答案： （Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析． （Ⅰ）由于猪的体重近似服从正态分布，设各阶段猪的数量分别为 ∴， ∴（头）；……………2分 同理，， ∴（头）；……………4分 ， ∴（头）. 所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪头，成长期猪头，成年期猪头。……………6分 （Ⅱ）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为，，随机变量可能取值为，，. ，，， 所以的分布列为： 所以（元）， 由于各养猪场均有头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为元，则总利润期望为（元）. …………………………………12分 21. （本题满分12分） 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组得到的频率分布直方图如图所示 （1）分别求第3，4，5组的频率； （2）若该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试， ①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率； ②学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官的面试，第4组中有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望． 参考答案： （1）第3组的频率为  ；第4组的频率为 ； 第5组的频率为 （1）       按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人。 ①     第3组共有，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件     ，学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率为 ②可取值为 ，， 的分布列为 0 1 2   22. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，，，． （Ⅰ）求sin∠BAC； （Ⅱ）求DC的长． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）利用诱导公式可求cos∠CAD，从而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠CAD，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinD的值，由正弦定理即可得解DC的值． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=BC2+BA2﹣2BC?BAcosB， 即BC2+BC﹣6=0，解得：BC=2，或BC=﹣3（舍），（3分） 由正弦定理得：．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）有：，， 所以，（9分） 由正弦定理得：．（12分） （其他方法相应给分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角