湖南省怀化市绿溪口中学高三数学文上学期期末试卷含解析

湖南省怀化市绿溪口中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于命题：双曲线的离心率为；命题：椭圆 的离心率为，则是的（    ） （A） 充要条件              （B） 充分不必要条件  （C） 必要不充分条件        （D）既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 2. 若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是（   ） A．           B． C．         D． 参考答案： D 终边落在直线上的角的取值集合为 或者.故选D.    3. 若  的夹角为 ，则 (   )   A.         B.      C.       D. 参考答案： B 略 4. 某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为（   ） A．13π                  B．16π           C．25π          D．27π 参考答案： C 5. 已知，，则A∩B=（    ） （A）(－3,－2]∪(1,+∞) （B）(－3,－2]∪[1,2) （C）[－3,－2)∪(1,2] （D）(－∞,－3]∪(1,2] 参考答案： C 6. 已知角的终边过点，则(   )      参考答案： D 略 7. 已知tanα=，α∈（π，π），则cosα的值是（　　） A．± B． C．﹣ D． 参考答案： C 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值即可． 【解答】解：∵tanα=，α∈（π，π）， ∴cosα=﹣=﹣， 故选：C． 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（    ） （A）14      （B）15      （C）16    （D）17 参考答案： C 由程序框图可知，从到得到，因此将输出. 9. 在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（　　） A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞） 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：设输入x=a， 第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件； 故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82， 解得：a∈（4，10]， 故选：A 10. 已知点，椭圆的左焦点为F，过F作直线l（l的斜率存在）交椭圆于A，B两点，若直线MF恰好平分，则椭圆的离心率为（   ） A．                   B．             C.                D． 参考答案： C ∵的斜率存在，可设直线为：，带入椭圆方程可得： ,设 则，， 又直线恰好平分，∴ 即，∴， ， ∴2 ∴， ∴，∴，又 ∴ 故选：C   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是　　． 参考答案： [，4] 【考点】简单线性规划． 【专题】压轴题；不等式的解法及应用． 【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件  的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可． 【解答】解：满足约束条件  的平面区域如图示： 因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）． 所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4， 当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=． 又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点． 所以≤a≤4． 故答案为：[，4] 【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解． 12. 过原点作曲线的切线，则切线的方程为___________. 参考答案： y=ex 略 13. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值是    ．   参考答案： 5 14. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于M，N两点（其中M点在第一象限），若，则直线l的斜率为          ． 参考答案： 设倾斜角为，则   15. 若集合，且下列四个关系： ① ；  ② ；  ③ ；  ④ . 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是___________. 参考答案： 6 略 16. 已知点（x，y）满足约束条件则的最小值是            。 参考答案： 略 17. 设R,向量,，且，,则. 参考答案： 由,由,故. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，A、B是圆O上的两点，且AB的长度小于圆O的直径，直线l与AB垂于点D且与圆O相切于点C．若AB=2，DB=1 （1）求证：CB为∠ACD的角平分线； （2）求圆O的直径的长度． 参考答案： 【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理． 【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明． 【分析】（1）由切割线定理得CD2=DA?DB=3，证明∠ACB=∠CAB，利用CD为圆O的切线，∠BCD=∠，可得∠BCD=∠ACB，即可证明CB为∠ACD的角平分线； （2）连结AO并延长交圆O于点E，连结CE，求出AE，即可求圆O的直径的长度． 【解答】（1）证明：由切割线定理得CD2=DA?DB=3， ∴… 又∵在Rt△CDB中，CB2=CD2+BD2=3+1=4… ∴在Rt△CBA中，CB=AB=2， ∴∠ACB=∠CAB… 又∵CD为圆O的切线， ∴∠BCD=∠CAB… ∴∠BCD=∠ACB，CB为∠ACD的角平分线  … （2）解：连结AO并延长交圆O于点E，连结CE， 设DC延长线上一点为F，则 ∵AE为圆O直径，∴ ∵直线l与圆O相切于点C．∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠2， ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB… ∴EC=BC=AB=2（相等的圆周角所对的弦相等） … ∵AC2=AD2+CD2=9+3=12… ∴AE2=EC2+AC2=4+12=16… ∴AE=4圆O的直径为4                          … 【点评】本题考查切割线定理，圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19. 世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表： 组别 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) 频数 2 250 450 290 8 （Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）； （Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X服从正态分布，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上； （Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100]范围内的8名学生中有5名女生，3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y，求Y的分布列与数学期望. 附：若，则， ，. 参考答案： 解：（Ⅰ）设样本的中位数为，则， 解得，所得样本中位数为. （Ⅱ），，， 旅游费用支出在元以上的概率为 ， ， 估计有位同学旅游费用支出在元以上. （Ⅲ）的可能取值为，，，， ，， ，， ∴的分布列为 .   20. 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。学 （1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 参考答案： [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。 （1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，, (2) （方法一）=,设， 则=,   所以为8的约数 （方法二）因为为数列中的项， 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。 21. （本小题满分10分） 《选修4—1：几何证明选讲》 如图，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于点E， 点D在AB上，． (Ⅰ)求证：AC是△BDE的外接圆的切线； (Ⅱ)若，求EC的长． 参考答案： （Ⅰ）设线段的中点为，连接， 点是圆心，        …………..2分 又平分. 又. 是△的外接圆的切线                   …………..5分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知是圆的切线, ， .                               ……………8分 又由（Ⅰ）知. .                               ………………10分 22. （本小题满分12分） 已知向量，向量，函数. (1)求的最小正周期； (2)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，， 且恰是在上的最大值，求，和的面积. 参考答案： (1)  ；(2) ，， 知识点：三角函数中的恒等变换应用 解析：(1) ………………3分 因为，所以     ……………………5分  (2) 由(1)知：    当时, 由正弦函数图象可知,当时取得最大值。  …………8分 所以, …………………9分 由余弦定理，  ∴∴ ………10分 从而 ……………………12分 【思路点拨】(1) 首项利用向量的数量积求出三角函数的关系式，进一步利用恒等变换把函数转化成正弦型函数，最后求出最小正周期． (2) 利用(1)求出A的大小，再利用余弦定理求出b的长，最后求出三角形的面积．