湖南省岳阳市市君山区广兴洲中学高三数学理下学期期末试题含解析

湖南省岳阳市市君山区广兴洲中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某流程如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（    ） A．                  B． C．          D． 参考答案： D 2. 设，则（    ）      A．若             B.      C.              D. 参考答案： 2  略 3. 在正三角形ABC中，，则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线的离心率为                                         （    ）        A．                   B．               C．               D．+1 参考答案： 答案:D 4. 已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离等于a．若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，则p为（　　） A． B．2 C． D．4 参考答案： B 【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的综合． 【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得P． 【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，2），半径为a，|AC|+|AF|=2a， 由抛物线M上一动点M到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a， 由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a， 点M在A处取最小值，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点 由D（0，2），F（，0），可得A（，）， 代入抛物线的方程可得2=2p×，解得p=2． 故选：B 5. 设双曲线的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点在   A．圆内        B．圆上 C．圆外        D．以上三种情况都有可能 参考答案： A 6. （文科）平面上O、A、B三点不共线，设向量，则△OAB的面积等于高☆考♂资♀源*网  A．     B． C．     D． 参考答案： C 7. 已知函数，下面四个结论中正确的是    () A．函数的最小正周期为       B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象是由的图象向左平移个单位得到                               D．函数是奇函数 参考答案： D 8. 函数的图象大致是 A. B. C.              D. 参考答案： C 由题意，，排除A；，，，排除B；增大时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，排除D，故选C． 9. 定义在R上的可导函数满足，记的导函数为，当时恒有．若，则m的取值范围是 A． B． C． D． 参考答案： D 构造函数，所以构造函数，，所以的对称轴为，所以，是增函数；是减函数。，解得： 【点睛】压轴题，考查导数与函数，涉及到构函数以及对称轴的性质。难度比较大。 10. 在△ABC中，、、的对边长分别为a，b，c．命题甲：，且．命题乙：△ABC是正三角形．则命题甲是命题乙的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 参考答案： A 若，则， 利用正弦定理边化角有：， 即， 整理可得：，求解三角方程可得：， 据此可知是等边三角形，即充分性成立； 考查必要性，若是等边三角形，则， 此时有，且，即必要性成立， 综上可得：命题甲是命题乙的充要条件． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设数列都是等差数列,若,则______。 参考答案： 35 12. 记函数的导数为，的导数为的导数为。若可进行次求导，则均可近似表示为： 若取，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数            （用分数表示） 参考答案： 略 13. 若集合则          . 参考答案： 14. 若三角方程有解，则实数的取值范围是           ． 参考答案： 15. 已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为________________.］ 参考答案： 略 16. =__________.  参考答案： 略 17. 已知实数a＜0，b＜0，且ab=1，那么的最大值为　　． 参考答案： ﹣1 考点： 基本不等式． 专题： 常规题型． 分析： 将整理得到，利用基本不等式即可求得的最大值． 解答： 解：由于ab=1，则 又由a＜0，b＜0，则 ， 故，当且仅当﹣a=﹣b即a=b=﹣1时，取“=” 故答案为﹣1． 点评： 本题考查基本不等式的应用，牢记不等式使用的三原则为“一正，二定，三相等”． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数，R． （Ⅰ）求的最小值，并求出相应的值的集合； （Ⅱ）求的单调递减区间． 参考答案： （Ⅰ） . （6分） 所以函数的最小值为, 此时满足, 即相应的的取值的集合为. （9分） （Ⅱ）由得 所以函数的单调递减区间为． （12分） 19. （12分）已知集合，其中a≠1    （1）当a=2时，求A∩B；    （2）求使BA的实数a的取值范围。 参考答案： 解析：（1）当a=2时，A=(2,7)，B=(4,5)        ∴A∩B=（4，5）                                                                    ················4分    （2）∵B=(2a，a2+1)        当时，A=(3a+1，2)要使，必须，此时a=-1；         ···6分        当时，，使的a不存在；                                                ···8分        当时，A=(2，3a+1)要使        综上可知，使，的实数a的取值范围  ················12分 20. （本小题满分12分） 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1⊥平面ABC，点E是AB的中点，CE∥平面A1BD。 （Ⅰ）求证：点D是CC1的中点； （Ⅱ）若A1D⊥BD，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值。 参考答案： 见解析 【知识点】立体几何综合 解：（Ⅰ）取A1B1的中点F，连接FC1，EF，设EF，A1B=G，连接CD， 由作图过程易得：四边形CEFC1为平行四边形，EC∥AA1。 在△AA1B中，点E是AB的中点，∴点G是A1B的中点， EG=AA1=CC1。 又CE∥平面A1BD，CE平面EFC1C， 且平面EFC1C平面A1BD=DG， ∴DG∥CE，又∵EG∥CD ∴四边形CEGD为平行四边形，CD=EG=CC1， ∴点D是CC1的中点 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EF∥AA1，AA1⊥平面ABC， ∴EF⊥平面ABC 又△ABC是边长为2的等边三角形，点E是AB的中点， ∴CE⊥AB且CE= 如图，建立空间直角坐标系E-xyz，设EF=2h， 则B(1,0,0)，C(0, ,0)，F(0,0,2h)，A1(-1,0,2h)，D(0,,h)， ，，， 由A1D⊥BD可知：，h= 由z轴⊥平面ABC可得：平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)。 设平面A1BD的法向量为=(x,y,z)， 由　，得， 令x=，则 ∴平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值为。   21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形． （1）求椭圆的离心率； （2）设直线与椭圆相交于两点，是 直线上的点，满足，求点的轨迹方程． 参考答案： （1）设， 由题意,可得,即，         ……………2分      整理得，得(舍)或，所以.       ……………4分  （2）由（1）知,可得椭圆方程为.   直线方程为           ……………………………………………5分 两点的坐标满足方程组,消去y并整理得……6分 解得得方程组的解   ……………………8分 不妨设,设的坐标为则 ，            …………10分 由得. 于是      …………11分 由得， 化简得，            ………………………………12分 将代入得， 由得.因此,点的轨迹方程是.  …13分 22. 已知函数f（x）=（其中a为常数）． （Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间； （Ⅱ） 当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：x1+x3＞． 参考答案： 考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）求导数，利用导数不等式求单调区间． （Ⅱ）利用导数结合函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，构造函数，利用单调性去判断． 解答： 解：（Ⅰ） 令f'（x）=0可得．列表如下： x （0，1） f'（x） ﹣ ﹣ 0 + f（x） 减 减 极小值 增 单调减区间为（0，1），；增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） （Ⅱ）由题， 对于函数，有 ∴函数h（x）在上单调递减，在上单调递增 ∵函数f（x）有3个极值点x1＜x2＜x3， 从而，所以， 当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a﹣1＜0， ∴函数f（x）的递增区间有（x1，a）和（x3，+∞），递减区间有（0，x1），（a，1），（1，x3）， 此时，函数f（x）有3个极值点，且x2=a； ∴当0＜a＜1时，x1，x3是函数的两个零点，﹣﹣﹣﹣（9分） 即有，消去a有2x1lnx1﹣x1=2x3lnx3﹣x3 令g（x）=2xlnx﹣x，g'（x）=2lnx+1有零点，且 ∴函数g（x）=2xlnx﹣x在上递减，在上递增 要证明    ?? 因为g（x1）=g（x3），所以即证 构造函数，则 只需要证明单调递减即可．而，，所F'（x）在上单调递增， 所以． ∴当0＜a＜1时，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分） 点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及函数的极值问题，综合性较强，运算量较大．