广西壮族自治区桂林市魏都中学2023年高三数学文月考试题含解析

广西壮族自治区桂林市魏都中学2023年高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 A．               B．      C．                D．      参考答案： C 由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C. 2. 已知圆上两点关于直线对称，则圆的半径为（   ）     A． 9            B．3           C．2         D．2 参考答案： B 3. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（   ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数  B.任意一个无理数，它的平方不是有理数  C.存在一个有理数，它的平方是有理数  D.存在一个无理数，它的平方不是有理数  参考答案： B 4. 函数的单调减区间为(     ) A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z） 参考答案： B 考点：复合三角函数的单调性． 专题：计算题． 分析：观察可知函数是由，t=sin（2x+）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin（2x+）增区间中的大于部分即可． 解答： 解：令：，t=sin（2x+） ∴2kπ＜2x+≤2kπ+ kπ＜x≤kπ+ 由复合函数的单调性可知： 函数的单调减区间为（k∈Z） 故选B 点评：本题主要查复合函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定义域，如本题在真数位置要大于零． 5. 下列说法正确的是        （    ）                                                                                                                A. 命题“使得 ”的否定是：“” B. “”是“在上为增函数”的充要条件 C. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 D. 命题p：“”，则p是真命题 参考答案： B 6. 是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(      ) A．                B．  C                D． 参考答案： D 7. 双曲线（p>0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则该双曲线的离心率为                                             （    ） A．        B．           C． 2        D．1   参考答案： A 略 8. 已知函数为奇函数，则的一个取值为（　） 　　A．0　　　　　 B．　　　　C．　　　　　 D． 参考答案： B 略 9. 若函数f（x）=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是（　　） 　 A． B． 1 C． 2 D． 3 参考答案： D 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 专题： 计算题；三角函数的图像与性质． 分析： 先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移个单位所得的函数，然后由已知y=sin（ωx+﹣）与f（x）=sin（ωx+）的图象关于x轴对称可得sin（ωx+）=﹣sin（ωx+﹣），解方程可得ω，进而求最小值 解答： 解：根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移个单位的函数 y=sin（ωx+﹣）与f（x）=sin（ωx+）的图象关于x轴对称 则有sin（ωx+）=﹣sin（ωx+﹣），解方程可得，ω=6k+3，k∈Z， 故当k=0时ω的最小值为：3． 故选D． 点评： 三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方，要引起注意，而函数的图象变换也是函数的重要知识，要熟练掌握． 10. 已知，则A∩B=（    ） A. (0,1) B. (0,1] C. R D. 参考答案： D 【分析】 根据二次根式有意义条件及指数不等式可解得集合A与集合B,再由集合交集运算即可得解. 【详解】对于集合 对于集合 所以 故选:D 【点睛】本题考查了指数不等式的解法与二次根式有意义的条件,交集的简单运算,属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数、满足，则－3的最大值是 ____ ． 参考答案： -1 12. 正三棱锥P﹣ABC中，有一半球，某底面所在的平面与正三棱锥的底面所在平面重合，正三棱锥的三个侧面都与半球相切，如果半球的半径为2，则当正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于　　． 参考答案： 2 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】导数的综合应用；空间位置关系与距离． 【分析】画出图形，设三棱锥的高 PO=x，底面△ABC的AB边上的高 CD=y，求出x，y的关系，推出体积的表达式，利用函数的导数求出函数的最小值，即可求出高的值． 【解答】 解：根据题意，画出图形如下， 其中，立体图形只画出了半球的底面． 设三棱锥的高 PO=x， 底面△ABC的AB边上的高 CD=3?OD=3y 在纵切面图形可看出，Rt△PEO∽Rt△POD， 则=，而 PD=，即=，整理得 x2y2=x2+4y2， 所以 y2=， 而三棱锥P﹣ABC的体积等于×底面△ABC的面积×高PO，即V=××AB×CD×PO=××2y×3y×x=y2x=， 对体积函数求导，得 V′=，令V′=0，解得唯一正解 x=2， 由该体积函数的几何意义可知 x=2为其体积最小值点， 故三棱锥体积最小时Vmin=6，高为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查几何体的内接球的问题，函数的导数的应用，考查空间想象能力以及计算能力． 13. 已知一元二次不等式的解集为,则的解集为                 . 参考答案： 14. 已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为  ▲   . 参考答案： 15. 计算（lg2）2+lg2?lg50+lg25=　  　． 参考答案： 2 【考点】4H：对数的运算性质． 【分析】将式子利用对数的运算性质变形，提取公因式，化简求值． 【解答】解：原式=2 lg5+lg2?（1+lg5）+（lg2）2=2 lg5+lg2（1+lg5+lg2） =2 lg5+2 lg2=2； 故答案为2． 16. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O、E、F、G、H，为圆O上的点，分别是以AB、BC、CD、DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB、BC、CD、DA为折痕折起，使得E、F、G、H重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________． 参考答案： 如图，连结交于点，设重合于点，正方形的边长为，则该四棱锥的侧面积是底面积的倍，，解得，设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，则，，，解得，外接球的体积，故答案为. 17. 在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)2＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为        ． 参考答案： 【答案解析】(0，15) 或 (－8，－1)解析：由已知得过点B与圆相切的切线长为10，则以B为圆心，切线长为半径的圆的方程为与已知圆的方程联立 解得切点坐标为（0,0）或（4,8），所以C点坐标为（－10,0）或 （－2,16），又已知圆心坐标为（0,5）设A点坐标为(x,y)，利用三角形重心坐标公式得A点坐标为(0，15) 或 (－8，－1). 【思路点拨】本题的关键是先求切点坐标，可转化为两圆的交点问题，联立方程求切点坐标. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分14分)  设函数.   (1). 求函数f(x)的最大值和最小正周期.   (2). 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，求sinA. 参考答案： 解：（1）              ＝＝           所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为。 （2）==,    所以, 又C为ABC的内角   所以, 又因为在ABC 中,  cosB=,   所以  ,    所以     。 19. 几何证明选讲      如图，直线PA为圆O的切线，切点为A，直径BC⊥OP，连接AB交PO于点D. （Ⅰ）证明：PA=PD； （Ⅱ）求证：PA·AC＝AD·OC． 参考答案： ∴∠PAB=∠ACB…………………………………………2分 ∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90° ∴∠ACB=90°-B ∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………………………4分 又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B ∴PA=PD…………………………………………………5分 (2)连接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO ∵∠OAC=∠ACO，∴ΔPAD∽ΔOCA………………………………………8分 ∴ = ，∴PA×AC=AD×OC………………………………………10分   略 20.    （1）设是公差为d的等差数列，推导公式：若；   （2）若的前n项和，证明当C≠0时，数列不是等差数列． 参考答案： 略 21. 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（0，8）． （1）求矩阵M； （2）求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程． 参考答案： 【考点】特征向量的意义． 【分析】（1）利用特征值、特征向量的定义，建立方程，即可得出结论； （2）求出变换前后坐标之间的关系，即可得出结论． 【解答】解：（1）设，由及， 得，解得，∴… （2）设原曲线上任一点P（x，y）在M作用下对应点P'（x'，y'）， 则，即，解之得， 代入x+3y﹣2=0得x'﹣2y'+4=0， 即曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程为x﹣2y+4=0… 22. 已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点 P． （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求的值． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程． 【专题】坐标系和参数方程． 【分析】（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，把代入即可得出； （2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，得到根与系数的关系，利用直线参数的意义即可得出． 【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ， ∴普通方程是x2+y2=2y+2x， 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． （2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P， 把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中， 得t2﹣t﹣1=0， ∴， ∴==． 【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、直线与曲线的交点、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计