山西省晋中市榆社中学高二数学理期末试卷含解析

山西省晋中市榆社中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数.若不等式的解集中整数的个数为3，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 将问题变为，即有个整数解的问题；利用导数研究的单调性，从而可得图象；利用恒过点画出图象，找到有个整数解的情况，得到不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】由得：，即： 令， 当时，；当时， 在上单调递减；在上单调递增 ，且， 由此可得图象如下图所示： 由可知恒过定点 不等式的解集中整数个数为个，则由图象可知： ，即，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据整数解的个数求解参数取值范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的位置关系问题，通过数形结合的方式确定不等关系. 2. 古希腊亚历山大时期的数学家怕普斯(Pappus, 约300~约350)在《数学汇编》第3卷中记载着一个定理:“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以重心旋转所得周长的积”如图，半圆O的直径AB=6cm，点D是该半圆弧的中点，那么运用帕普斯的上述定理可以求得，半圆弧与直径所围成的半圆面(阴影部分个含边界)的重心G位于对称轴OD上，且满足OG= (   ) A．2cm         B．       C.         D． 参考答案： B 以为轴，旋转题设半圆所得的球的体积为。运用提供的定理求得， ，解得，所以选 3. 设P为曲线C：y=x2﹣2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为（　　） A．[﹣1，﹣] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[1，] 参考答案： D 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出曲线对应函数的导数，设出切点P（m，n），可得切线的斜率，由直线的斜率公式，结合正切函数的单调性可得切线的斜率范围，解不等式即可得到m的范围． 【解答】解：y=x2﹣2x+3的导数为y′=2x﹣2， 设切点P（m，n），可得切线的斜率为k=2m﹣2， 由切线倾斜角α的取值范围为[0，]， 可得切线的斜率k=tanα∈[0，1]， 即为0≤2m﹣2≤1， 解得1≤m≤． 故选：D． 4. 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（     ） A．              B．                 C．            D． 参考答案： C 略 5. 在△ABC中，若，，，则满足条件的三角形有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 参考答案： B 设，，， ， ， ∴， ∴或． 满足条件的三角形有个． 故选． 6. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A．            B.             C.             D. 参考答案： B 7. 若函数在其定义域的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围（     ） A．         B．    C．       D． 参考答案： A 略 8. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（      ） A.充分不必要条件           B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件            D.  既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 9. 观察下列一组数据 a1=1， a2=3+5， a3=7+9+11， a4=13+15+17+19， … 则a10从左到右第一个数是（　　） A．91 B．89 C．55 D．45 参考答案： A 【考点】归纳推理． 【分析】观察数列{an} 中，各组和式的第一个数：1，3，7，13，…找出其规律，从而得出a10的第一个加数为91． 【解答】解：观察数列{an} 中，a1=1，a2=3+5，a3=7+9+11，a4=13+15+17+19，…， 各组和式的第一个数为：1，3，7，13，… 即1，1+2，1+2+2×2，1+2+2×2+2×3，…， 其第n项为：1+2+2×2+2×3+…+2×（n﹣1）． ∴第10项为：1+2+2×2+2×3+…+2×9=1+2×=91． 从而a10的第一个加数为91． 故选A． 10. 如果logx＜logy＜0，那么（　　） A．0＜y＜x＜1 B．1＜y＜x C．1＜x＜y D．0＜x＜y＜1 参考答案： C 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】利用换底公式化简，结合对数函数的图象及性质，即可得到答案． 【解答】解：∵真数在，对数值小于0， 由对数函数的图象及性质，可知：底数必须大于1，即x＞1，y＞1． 换成以底的对数： 可得：logx=；      logy=． ∵logx＜logy， ∴log＞， 由于底数为＜1，是减函数，∴y＞x， 所以：1＜x＜y 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列的前ｎ项和，则此数列的通项公式            参考答案： 12. 已知过两点的直线的斜率为1，则=    ▲    ． 参考答案： -4 13. 在△中，“”是“”的________条件 参考答案： 充要条件 14. 经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________. 参考答案： 3x+6y-2=0； 15. 已知函数在(1,3)内不单调，则实数a的取值范围是________. 参考答案： 或 【分析】 求得函数的导函数，对分成两类，根据函数在内不单调列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为，，当时，，单调递增，不符合题意.当时，构造函数，函数的对称轴为，要使在内不单调，则需，即，解得或. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 16. 计算：        . 参考答案： 40 17. 已知|2x﹣1|+（y+2）2=0，则（xy）2016=　   　． 参考答案： 1 【考点】有理数指数幂的化简求值． 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可． 【解答】解：∵|2x﹣1|+（y+2）2=0， ∴x=，y=﹣2， ∴xy=﹣1， ∴（xy）2016=1， 故答案为：1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (6分)已知函数f(x)=x3-x2 -2x+5.(1)求函数的单调区间;(2）求函数在[-1,2]区间上的最大值和最小值.  参考答案： 19. 椭圆与过点且斜率为的直线交于两点． （1）若线段的中点为，求的值； （2）在轴上是否存在一个定点，使得的值为常数，若存在，求出点的坐标；若不存在， 说明理由． 参考答案： （1）；（2）存在． 试题分析：（1）设，直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，得出等式，即可求解的值；（2）假设在轴上存在一个定点满足题意，设，得出的坐标，利用向量的坐标运算，得出的表达式，即可得出结论. 试题解析：（1）设，直线为与联立得 ，则有， ∴， 解之得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 考点：直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，其中解答中直线与椭圆的位置关系的应用、向量的运算，二次函数的最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根和系数的关系，利用判别式与韦达定理是解答的关键. 20. 已知中，角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）设，，求的最小值. 参考答案： （I）由于弦定理， 有 ……………6分 ∵，∴，∴   ……………7分 ∵，∴…………………………8分 （Ⅱ），…………10分 由，得。…………………11分 所以，当A=   时，m.n取得最小值为0. 21. 设椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），且椭圆上存在点P使得直线PF1与直线PF2垂直． （1）求椭圆离心率e的取值范围； （2）若直线PF1与椭圆的另一个交点为Q，当e=，且|QF2|=5时，求椭圆方程． 参考答案： 考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由△PF1F2是直角三角形，可得以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，可得c≥b，利用a，b，c的关系及其离心率计算公式即可得出． （2）由e=，可得b=c，点P（0，b），因此直线PQ方程为：y=x+c，则椭圆的方程为，联立解得Q．利用|QF2|=，解得c即可得出． 解答： 解：（1）∵△PF1F2是直角三角形， ∴以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，∴c≥b， ∴c2≥a2﹣c2，解得，又＜1， ∴e∈． （2）由e=，∴a2=2c2，b=c． ∴|OP|=b， 设点P（0，b），直线PQ的斜率k=1，设直线PQ的方程为：y=x+c， 则椭圆的方程为，联立， 解得，或， ∴Q． ∴|QF2|==，解得c=3， ∴b=3，a2=18， ∴椭圆的方程为：． 点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22. 数列{an}的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an＞0， （Ⅰ）求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式 （Ⅱ）设，求和Tn=b1+b2+…+bn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差关系的确定． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn﹣4Sn﹣1进行化简得an﹣an﹣1=2，从而得到数列{an}是等差数列，直接求出通项公式即可； （Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和． 【解答】（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1． 当n≥2时，4an=4Sn﹣4Sn﹣1=（an+1）2﹣（an﹣1+1）2， ∴2（an+an﹣1）=an2﹣an﹣12， 又{an}各项均为正数，∴an﹣an﹣1=2， ∴数列{an}是等差数列， ∴an=2n﹣1； （Ⅱ）解：= ∴Tn=b1+b2+…+bn=++…+﹣﹣﹣① ∴Tn=++…++﹣﹣﹣② ①﹣②Tn=+2（++…+）﹣= ∴Tn=1﹣． 【点评】本题主要考查了数列的递推关系，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．