江苏省南通市八一中学高一数学理模拟试卷含解析

江苏省南通市八一中学高一数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑．经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响．现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（    ） A. 30 B. 70 C. 80 D. 100 参考答案： B 【分析】 根据分层抽样的特点，在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学抽取的占比等于总体中的占比，即可求解. 【详解】因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学有， 所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取人， 故选：B 【点睛】本题主要考查了分层抽样，总体、样本的概念，属于容易题. 2. 已知函数，则的值为（  ）． A．1          B．2         C．4           D．5 参考答案： D 略 3. 已知函数是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A．           B．         C．         D． 参考答案： D 4. 为了研究某班学生的脚长x（单位厘米）和身高y（单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（   ） A.160    B.163    C.166    D.170 参考答案： B 由已知.   5. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 （    ） A.．  B.．   C.．   D.． 参考答案： B 6. 设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题： ①      ②   ③    ④ 其中，真命题是（    ）    A.①④          B.②③         C.①③         D. ②④ 参考答案： C 7. 已知的导函数为，则= A.0             B.－2            C. －3              D. －4 参考答案： D 函数f(x)=－x3+的导函数为f ′(x)=(－x3+) ′=－3x2－,∴f ′(－1)=－3×(－1)2－=－4. 故选D.   8. 设则下列不等式中恒成立的是（  ）   A           B      C        D  参考答案： C 9. 已知函数f(x) 定义域为[-1,4]，则的定义域为                    （　　） A .  [4,19]       B . [,4]         C .          D . [,5] 参考答案： D 10. 已知，且，则M的值是 A．20           B．          C．        D．400 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设奇函数的定义域为[－5,5]，在上是减函数，又则               不等式 x＜0的解集是             ． 参考答案： 12. 已知数列的前项和为，且，，则的最小值为        ． 参考答案：       13. 若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是　　． 参考答案： [﹣3，1] 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即≤，解绝对值不等式求得实数a取值范围． 【解答】解：由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径， 即≤，化简得|a+1|≤2，故有﹣2≤a+1≤2，求得﹣3≤a≤1， 故答案为：[﹣3，1]． 14. 已知数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若，，则的取值范围是_______. 参考答案： [3,60] 【分析】 根据等差数列的通项公式列不等式组，将表示为的线性和的形式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，设， 由解得 ，两式相加得，即的取值范围是. 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前项和公式，考查取值范围的求法，属于中档题. 15. （3分）化简：=   ． 参考答案： ﹣1 考点： 三角函数的化简求值． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 先分子去根号后即可化简求值． 解答： ∵== ∵sin40°＜cos40°， ∴原式==﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 本题主要考察了三角函数的化简求值，属于基础题． 16. 已知集合至多有一个元素，则的取值范围         ； 若至少有一个元素，则的取值范围          。 参考答案： ， 17. 函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a的取值范围是         ． 参考答案： （﹣∞，﹣3] 【考点】二次函数的性质． 【分析】f（x）是二次函数，所以对称轴为x=1﹣a，所以要使f（x）在区间（﹣∞，4]上递减，a应满足：4≤1﹣a，解不等式即得a的取值范围． 【解答】解：函数f（x）的对称轴为x=1﹣a； ∵f（x）在区间（﹣∞，4]上递减； ∴4≤1﹣a，a≤﹣3； ∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]． 故答案为：（﹣∞，﹣3]． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，若f（﹣2）=2，则f（2）=（） A． ﹣2 B． ﹣4 C． ﹣6 D． ﹣10 参考答案： D 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由于f（x）=ax3+bx﹣4，可得f（﹣x）+f（x）=﹣8，即可得出． 解答： ∵f（x）=ax3+bx﹣4， ∴f（﹣x）+f（x）=﹣ax3﹣bx﹣4+ax3+bx﹣4=﹣8， ∵f（﹣2）=2， ∴2+f（2）=﹣8， 解得f（2）=﹣10． 故选：D． 点评： 本题考查了函数的奇偶性，属于基础题． 19. 已知圆C：x2+（y﹣4）2=4，直线l：（3m+1）x+（1﹣m）y﹣4=0 （Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标； （Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长； （Ⅲ）已知点M（﹣3，4），在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M）， 满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的 坐标及该常数． 参考答案： 【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J9：直线与圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）利用直线系方程的特征，直接求解直线l过定点A的坐标． （Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可． （Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意， 则设P（x，y），，得|PM|2=λ2|PN|2（λ＞0），且（y﹣4）2=4﹣x2，求出λ，然后求解比值． 法二：设直线MC上的点N（t，4）取直线MC与圆C的交点P1（﹣2，4），则，取直线MC与圆C的交点P2（2，4），则，通过令，存在这样的定点N满足题意，则必为，然后证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得，m（3x﹣y）+（x+y﹣4）=0， 令3x﹣y=0且x+y﹣4=0，得x=1，y=3∴直线l过定点A（1，3）， （Ⅱ）当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），r=2， ∴，得，∴由得m=﹣1， ∴圆心到直线的距离为， ∴最短弦长为． （Ⅲ）法一：由题知，直线MC的方程为y=4，假设存在定点N（t，4）满足题意， 则设P（x，y），，得|PM|2=λ2|PN|2（λ＞0），且（y﹣4）2=4﹣x2 ∴（x+3）2+（y﹣4）2=λ2（x﹣t）2+λ2（y﹣4）2 ∴（x+3）2+4﹣x2=λ2（x﹣t）2+λ2（4﹣x2） 整理得，（6+2tλ2）x﹣（λ2t2+4λ2﹣13）=0 ∵上式对任意x∈[﹣2，2]恒成立， ∴6+2tλ2=0且λ2t2+4λ2﹣13=0 解得或t=﹣3，λ=1（舍去，与M重合） 综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数 法二：设直线MC上的点N（t，4） 取直线MC与圆C的交点P1（﹣2，4），则 取直线MC与圆C的交点P2（2，4），则 令，解得或t=﹣3（舍去，与M重合），此时 若存在这样的定点N满足题意，则必为， 下证：点满足题意， 设圆上任意一点P（x，y），则（y﹣4）2=4﹣x2 ∴==， ∴ 综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数． 20. 已知函数f（x）=（x∈（1，5]） （1）证明函数的单调性， （2）求函数的最大值和最小值． 参考答案： 【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3E：函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）函数f（x）=在（1，5]递减，运用单调性的定义证明，设出自变量，作差，变形，定符号和下结论； （2）由单调性可得函数f（x）的最小值，无最大值． 【解答】解：（1）函数f（x）=在（1，5]递减， 证明：设1＜x1＜x2≤5， f（x1）﹣f（x2）=﹣=， 由1＜x1＜x2≤5，可得x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0， 可得＞0， 即有f（x1）＞f（x2）， 可得f（x）在（1，5]递减； （2）由（1）可知f（x）=在（1，5]递减， f（x）的最小值为f（5）=，无最大值． 【点评】本题考查函数的单调性及证明，以及运用：求最值，考查运算能力，属于基础题． 21. 已知函数   （1）求函数在的单调递减区间及值域；   （2）在所给坐标系中画出函数在区间的图像（只作图不写过程）. 参考答案： 解：(1)令， 又 ∴函数的单调递减区间为   则  ∴ ∴函数的值域为 略 22. (1)计算：；(5分) (2)已知，且求得值. (5分) 参考答案：