山东省潍坊市兴安街道育英中学高三数学理模拟试题含解析

山东省潍坊市兴安街道育英中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是 A.S＜8                                                    B. S＜9 C. S＜10                                                   D. S＜11 参考答案： B 2. 函数y＝cos，x∈R(　　)． A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 参考答案： C 3. （5分）若函数f（x）=|ax+x2﹣x?lna﹣m|﹣2，（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围（　　） 　 A． （﹣1，3） B． （﹣3，1） C． （3，+∞） D． （﹣∞，﹣1） 参考答案： A 【考点】： 函数零点的判定定理． 【专题】： 计算题；函数的性质及应用． 【分析】： 令g（x）=ax+x2﹣x?lna，先讨论a＞1，0＜a＜1求出单调区间，进而判断函数g（x）的极小值，再由y=|g（x）﹣m|﹣2有两个零点，所以方程g（x）=m±2有2个根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，即可得到m的取值范围． 解：令g（x）=ax+x2﹣x?lna， g′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna， ①当a＞1，x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，则g′（x）＞0， 则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增， x∈（﹣∞，0）时，lna＞0，ax﹣1＜0，所以g′（x）＜0， 则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减； ②当0＜a＜1时，x＞0，lna＜0，ax﹣1＜0，所以g′（x）＞0， 则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x∈（﹣∞，0）时，lna＜0，ax﹣1＞0，所以g′（x）＜0， 则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减． 故当a＞0且a≠1时，g（x）在x＜0时递减；g（x）在x＞0时递增， 则x=0为g（x）的极小值点，且为最小值点，且最小值g（0）=1． 又函数f（x）=|g（x）﹣m|﹣2有两个零点，所以方程g（x）=m±2有二个根， 而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，解得m∈（﹣1，3）， 故选A． 【点评】： 本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题． 4. 将函数的图像上各点向右平移个单位，则得到新函数的解析式为（    ） A．          B． C．      D． 参考答案： A 5. 在复平面内，复数对应的点位于 （   ） A．第一象限        B．第二象限       C．第三象限      D．第四象限 参考答案： D 6. “”是“函数的最小正周期为”的  (      ) A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充要条件   D.既非充分条件也不是必要条件 参考答案：   A 7. 已知函数，记，， ，，则                                      (　　) A．10           B．lg110            C．0            D．1 参考答案： D 略 8. 已知为等差数列，其前n项和为Sn，若，则下列各式一定为定值的是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和 解析：定值，,故选C. 【思路点拨】利用等差数列的前n项和，得到为定值，再利用等差数列的性质即可．   9. 设非零向量，满足，，则= (   ) A．             B．           C．        D． 参考答案： D. 法一:【解析】∵∴，∴解得： ∴∴法二:利用向量几何意义画图求解. 10. 现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100接力赛跑。第一棒只能从甲、乙两人中安排1人，第四棒只能从甲、丙两人中安排1人，则不同的安排方案共有      A．24种          B．36种          C．48种 D．72种 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知单位向量a，b的夹角为60°，则（2a＋b）·（a－3b）＝________． 参考答案： 12. （文）已知向量则的最大值为_________． 参考答案： 3 ，所以当时，有最大值，所以的最大值为3. 13. 双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为         ． 参考答案： 考点：双曲线的简单性质． 分析：因为，所以AF1与BF1互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF1B是以AB为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率e的方程，解之即得该双曲线的离心率． 解答： 解：根据题意，得右焦点F2的坐标为（c，0） 联解x=c与，得A（c，），B（c，﹣） ∵ ∴AF1与BF1互相垂直，△AF1B是以AB为斜边的等腰Rt△ 由此可得：|AB|=2|F1F2|，即=2×2c ∴=2c，可得c2﹣2ac﹣a2=0，两边都除以a2，得e2﹣2e﹣1=0 解之得：e=（舍负） 故答案为： 点评：本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦，与左焦点构成直角三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 14. 的展开式中含x2项的系数是         参考答案： 5   略 15. 定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为       ． 参考答案： （0，+∞） 【考点】导数的乘法与除法法则． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R）， 则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f'（x）＞1﹣f（x）， ∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0， ∴y=g（x）在定义域上单调递增， ∵exf（x）＞ex+5， ∴g（x）＞5， 又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＞0， ∴不等式的解集为（0，+∞） 故答案为：（0，+∞）． 【点评】本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键． 16. 已知，则与的夹角大小为       ． 参考答案： 60° 17. 曲线与直线围成的封闭图形的面积为 . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围． 参考答案： (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1. ∵x∈[－5,5]，∴f(x)min＝f(1)＝1； f(x)max＝f(－5)＝37. (2)∵f(x)＝(x＋a)2＋2－a2， ∴函数的对称轴为直线x＝－a. ∵函数f(x)在[－5,5]上是单调的， ∴－a≤－5或－a≥5， 即a≥5或a≤－5. ∴实数a的取值范围是{a|a≥5或a≤－5}． 略 19.   已知函数f(x)一x2 (x-t)，t>0．   (I)求函数f(x)的单调区间；    (Ⅱ)设函数y＝f(x)在点P()处的切线的斜率为k，当xo∈（0，1]时，k≥恒成立，求t的最大值． 参考答案： 20. 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差. （i）利用该正态分布，求； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求. 附：≈12.2. 若～，则=0.6826，=0.9544. 参考答案： (Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为                                                     …………6分 （Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知～，从而    ………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意知，所以      ………12分 21. 已知函数=（是常数）. （1）       若是增函数，试求的取值范围； （2）       当=0时，是否存在不相等的正数满足若存在，求出；若不存在，说明理由. 参考答案： 22. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a． （I）求A； （II）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a． 参考答案： 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（I）由正弦定理化简已知等式可得2cosAsinA=sinA，结合sinA≠0，可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值． （II）由△ABC的面积为，求出bc，利用c2+abcosC+a2=4，得出3a2+b2+c2=8，结合余弦定理求a． 【解答】解：（I）由正弦定理可知，2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA， 即2cosAsinA=sinA， 因为A∈（0，π）， 所以sinA≠0， 所以2cosA=1，即cosA= 又A∈（0，π）， 所以A=； （II）∵△ABC的面积为， ∴=，∴bc=1 ∵c2+abcosC+a2=4，∴3a2+b2+c2=8， ∵a2=b2+c2﹣bc ∴4a2=7，∴a=．