2013年中考数学压轴题全面突破之三：点的存在性(含标准答案)

中考数学压轴题全面突破之三•点的存在性 题型特点 存在性问题是指推断某种特殊条件或状态是否存在的问题，比如长度、角度、面积满足肯定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等． 点的存在性问题常以函数为背景，探讨是否存在点，满足某种关系或构成某种特殊图形．比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相像三角形、特殊四边形等． 解题思路 解决点的存在性问题，遵循函数与几何综合中处理问题的原则． 难点拆解 点的存在性问题关键是利用几何特征建等式．建等式的方式有： ①直接表达建等式．分析点存在所满足的特殊条件或关系，直接表达线段长． ②转化表达建等式．如面积关系问题，转化面积关系为线段关系，结合关键点所在图形的边角信息及几何特征，建等式． ③构造模型建等式．如角度间关系，需转化、构造将其放到三角形中，再借助线段间关系建等式． 1. （2009湖北武汉）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标． 2. （2012江苏南通改编）如图，经过点A(0，﹣4)的抛物线与x轴交于点B(﹣2，0)和点C，O为坐标原点． （1）求抛物线的解析式． （2）将抛物线先向上平移个单位长度、再向左平移m（m>0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围． （3）若点M在y轴上，且∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求点M的坐标． 3. （2011广东深圳）如图1，抛物线（a≠0）的顶点为C(1，4)，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，其中点B的坐标为(3，0)． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，与y轴交于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使以D，G，F，H四点为顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G，H两点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 4. （2012浙江温州）如图，过原点的抛物线（m>0）与x轴的另一个交点为A．过点P(1，m)作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B，C不重合）．连接CB，CP． （1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长． （2）当m>1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？ （3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出全部满足要求的m的值，并求出相对应的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5. （2012辽宁沈阳）如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(0，2)，点E为线段AB上的一动点（点E不与点A，B重合）．以E为顶点作∠OET =45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线的图象经过A，C两点． （1）求此抛物线的函数表达式． （2）求证：∠BEF=∠AOE． （3）当△EOF为等腰三角形时，求点E的坐标． （4）在（3）的条件下，设直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 点的存在性 1. （1）抛物线的解析式为． （2）点关于直线对称的点的坐标为(0，1)． （3）点的坐标为． 2. （1）抛物线的解析式为y=x2-x-4． （2）符合条件的m的取值范围为0＜m＜． （3）M(0，6)或M(0，-6)． 3. （1）抛物线的解析式为y＝-(x-1)2+4． （2）存在，四边形DFHG的周长最小为，点G坐 标为(1，1)，点H坐标为(，0)． （3）存在，点T的坐标为(，)． 4. （1）A(6，0)，BC=4． （2）m=． （3）当m＞1时， 当点E在x轴上，m=2，点E的坐标是(2，0)； 当点E在y轴上，m=2，点E的坐标是(0，4)． 当0＜m＜1时， 当m=时，点E的坐标是(，0)． 5. （1）抛物线的表达式为y=-x2-x+2． （2）证明略． （3）E(-1，1)或E(-，2-)． （4）存在，P(0，2)或P(-1，2)．