安徽省池州市东至县昭潭中学高三数学理上学期期末试题含解析

安徽省池州市东至县昭潭中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=－1相切，则此动圆必过定点（    ） A. (2,0) B. (1,0) C. (0,1)  D.(0,－1) 参考答案： B 2. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（    ） 参考答案： C 略 3. 在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于16cm2的概率为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据几何概型的概率公式，设AC＝x，则BC＝10﹣x，由矩形的面积S＝x（10﹣x）＜16可求x的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段的长为，则线段长为， 那么矩形面积为，或，又， 所以该矩形面积小于的概率为. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题． 4. 若等差数列的前n项和为，则 A.0     B.12      C.      D. 参考答案： A 5. 已知实数x，a1，a2，y成等差数列，  x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是                                                                                                                 （    ）        A．[4，＋∞）                                     B．（－∞，-4]∪[4，＋∞）        C．（－∞，0]∪[4，＋∞）                D．不能确定 参考答案： 答案：C 6. 已知向量=（﹣1，2），=（1，λ），若⊥，则+2与的夹角为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据⊥得?=0，解得λ的值，再求+2与的夹角余弦值，从而求出夹角大小． 【解答】解：向量=（﹣1，2），=（1，λ）， 若⊥，则?=﹣1×1+2λ=0， 解得λ=； ∴+2=（1，3）， ∴（+2）?=1×（﹣1）+3×2=5， |+2|==， ||==； ∴cosθ===， ∴+2与的夹角为． 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量数量积与夹角的计算问题，是基础题． 7. 函数的部分图象如图，则 A.；   B. ；   C. ；  D. 。 参考答案： C 8. 函数的部分图像如图所示，则的解析式可以为 A、     B、  C、   D、 参考答案： D 9. 已知两条直线互相垂直，则等于 （    ）     A．2                B．1                C．              D．0 参考答案： C 10. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为（    ）  A.1                                 B.                            C.                                     D.     参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下列四个命题： ①命题“?x∈（0，2），2x＞x2”的否定是“?x∈（0，2），2x≤x2”； ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α； ③若随机变量ξ：N（1，σ2）且P（ξ＜2）=0.7，则P（0＜ξ＜1）=0.3； ④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=3，则S11=33． 其中真命题的序号是　　（写出所有真命题的序号）． 参考答案： ①④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】利用命题的否定形式判断①的正误；直线与平面的位置关系判断②的正误；正态分布性质判断③的正误；等差数列的性质判断④的正误； 【解答】解：①命题“?x∈（0，2），2x＞x2”的否定是“?x∈（0，2），2x≤x2”；满足命题的否定形式，正确； ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；可能直线与平面相交，所以不正确； ③若随机变量ξ：N（1，σ2）且P（ξ＜2）=0.7，则P（0＜ξ＜1）=0.5；所以原判断不正确； ④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=3，则S11=11a6=33．正确； 故答案为：①④． 12. 某班有学生55人，现将所有学生按1，2，3，…，55随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为号学生在样本中，则_______. 参考答案： 56     13. 已知，，，则与夹角为        . 参考答案：   14. 设正三棱锥的高为H，且此棱锥的内切球的半径R，，则          ． 参考答案： 如图，是棱锥的过侧棱PA和内切圆圆心O的截面三角形，是棱锥的高，是内切圆圆心，， 由已知，，则， 由得，∴， ∴， ， ∴． 故答案为．   15. 已知数列{an}是以t为首项，以2为公差的等差数列，数列{bn}满足，若对都有成立，则实数t的取值范围是          ． 参考答案：     16. 若双曲线的渐近线与抛物线的准线相交于A,B两点，且△OAB（O为原点）为等边三角形，则=_______. 参考答案： 4 略 17. （5分）曲线C：y=xex在点M（1，e）处的切线方程为　　． 参考答案： y=2ex﹣e 【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】： 导数的概念及应用． 【分析】： 求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论． 解：函数的f（x）的导数f′（x）=（1+x）ex， 则曲线在（1，e）处的切线斜率k=f′（1）=2e， 则对应的切线方程为y﹣e=2e（x﹣1）， 即y=2ex﹣e． 故答案为：y=2ex﹣e 【点评】： 本题主要考查曲线切线的求解，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为，，，4，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|． （1）求P(ξ＝1)； （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 参考答案： （1）；                                            ………………3分 （2）的所有取值为0,  1，2，3．                                        ………………4分 ，，,．            则随机变量的分布列为 3     的数学期望．                       ………………10分 19. （本小题满分14分）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求的取值范围； （Ⅲ）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值. 参考答案： （Ⅰ）设,的坐标分别为,其中 由题意得的方程为: 因到直线的距离为,所以有,解得……………2分 所以有……① 由题意知: ,即……② 联立①②解得: 所求椭圆的方程为……………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆的方程为 设,，由于,所以有 ……………7分 又是椭圆上的一点,则 所以 解得：或              ……………9分 （Ⅲ）由, 设 根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为 把它代入椭圆的方程,消去,整理得: 由韦达定理得,则, 所以线段的中点坐标为 (1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴 于是 由,解得: ……………11分 (2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为 因为点是线段垂直平分线的一点 令,得: 于是 由,解得: 代入,解得: 综上, 满足条件的实数的值为或.   ……………14分 20. △ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且asinB﹣bcosA=0 （Ⅰ）求角A （Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（I）由asinB﹣bcosA=0，利用正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosA=0，化为tanA=，进而得出． （II）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，变形62=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos，解得bc即可得出． 【解答】解：（I）∵asinB﹣bcosA=0， ∴sinAsinB﹣sinBcosA=0， ∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴tanA=， 又A∈（0，π），∴A=． （II）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴62=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos， ∴82﹣3bc=62，化为bc=， ∴S△ABC===． 21. (本题满分12分) 已知,其中,,. （1）求的单调递减区间； （2）在中,角所对的边分别为,, , 且向量与共线，求边长和的值. 参考答案： 【知识点】三角函数的图象与性质解三角形C3 C8 (1) （2）b=3,c=2 (1) 由题意知.                                                                     在上单调递减， 令，得 的单调递减区间                       (2)，,又，即                                             ，由余弦定理得=7.     因为向量与共线，所以，由正弦定理得.   .                                                   【思路点拨】化简求出单调区间，根据余弦定理，正弦定理解出边b,c. 22. “工资条里显红利，个税新政入民心”.随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.某IT从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁-35岁（2009年-2018年）之间各年的月平均收入y（单位：千元）的散点图：(注：年龄代码1-10分别对应年龄26-35岁) （1）由散点图知，可用回归模型拟合y与x的关系，试根据有关数据建立y关于x的回归方程； （2）如果该IT从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税. 附注：①参考数据：，，，， ，，，其中：取，. ②参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ③新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：   旧个税