安徽省黄山市田家炳中学高二数学理期末试题含解析

安徽省黄山市田家炳中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，，则下列不等式中一定成立的是　　　　　　　　　　　    （    ） A．   B．     C．  D． 参考答案： C 2. 过双曲线的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点，若为线段的中点, 则双曲线的离心率是 A． B． C． D． 参考答案： A 略 3. 直线如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 　　　    (    )  A．      B． C．三棱锥的体积为定值 D． 参考答案： D 略 4. 当时，下面的程序段输出的结果是（  ）     A．             B．             C．            D． 参考答案： D 5. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（    ） （1），；（2），； （3），；（4），；（5），。 A.（1），（2）        B. （2），（3）   C. （3），（5）   D. （4） 参考答案： D 6. 已知函数，则的图象大致为（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项 【详解】由于，排除B选项.由于，，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A. 【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题. 7. 若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（  ） 参考答案： D 略 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的（   ） A．3         B．4       C. 5        D．6 参考答案： C 9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800。为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（     ） A.，，    B. ，，    C. ，，    D. ，， 参考答案： D 10. 右面的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是（     ） A.    B.    C.        D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. .若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________． 参考答案： 试题分析：因为函数既是幂函数又是的减函数，所以，解得：.故答案为：. 12. 将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案和数有          ． 参考答案： 10 13. 展开式中的常数项是70，则________． 参考答案： 试题分析：由题意得，，所以展开式的常数项为，令，解得． 考点：二项式定理的应用． 【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中涉及到多项式的化简与二项式定理的通项等知识，解答中把化为是解答问题的关键，再根据二项展开式，得到展开式的常数项，即可求解的值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题． 14. 将二进制数101 1 (2) 化为十进制数，结果为        ； 将十进制数124转化为八进制数，结果为         。[来源:Z&xx&k.Com] 参考答案： 略 15. 已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=　   　． 参考答案： 2 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r． 【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°， ∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半， 即d=，解得r=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用． 16. 若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为__________． 参考答案： 设圆锥的母线长为， ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的高， ∴圆锥的体积 17. 已知， 且，则的值为____________ 参考答案： 5 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 2010年9月5日生效的一年期个人贷款利率为7.29%,小陈准备购买一部汽车,购车一年后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为，且（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款.（利息=贷款量乘以利率） (1)写出小陈采用优惠贷款方式贷款应支付的利息;(2) 一年期优惠利率为多少时,两种贷款的利息差最大? 参考答案： 解：（1）由题意，贷款量为(，应支付利息=       （2）小陈的两种贷款方式的利息差为             令=0，解得或         当     所以，时，利息差取得极大值，即一年期优惠利率为4.68%时,利息差最大. 略 19. 如图，已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x （1）求f（1），f（﹣2）的值； （2）求f（x）的解析式并画出简图； （3）讨论方程f（x）=k的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数的值． 【专题】计算题；作图题． 【分析】（1）由x≥0时，f（x）=x2﹣2x，可求出f（1），f（2）的值，进而根据y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣2）=f（2）得到答案； （2）根据y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，先求出函数的y=f（x）的解析式（分段函数的形式），进而根据分段函数的图象分段画的原则，结合二次函数的图象可得答案． （3）根据（2）中函数的图象，即可分析出k取不同值时，方程f（x）=k的根的情况． 【解答】解：（1）∵当x≥0时，f（x）=x2﹣2x ∴f（1）=12﹣2=﹣1 f（2）=22﹣2×2=0 又∵y=f（x）是定义在R上的偶函数 ∴f（﹣2）=f（2）=0    …..（3分） （2）当x≤0时，﹣x≥0 于是f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x 又∵y=f（x）是定义在R上的偶函数 ∴f（x）=x2+2x（x≤0） ∴f（x）= …..（7分） 其图象如下图所示： （3）由（2）中函数f（x）的图象可得： 当k＜﹣1时，方程无实根 当k=﹣1，或k＞0时，有2个根； 当k=0时，有3个根； 当﹣1＜k＜0时，有4个根；         …..（14分） 【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质及函数的值，其中根据已知条件结合函数的奇偶性的定义，求出函数的解析式是解答本题的关键． 20. （本题满分12分） 如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， PA=AD=2，BD=. （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；   （3）求点C到平面PBD的距离. 参考答案： 解：方法一：证：⑴在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD，BDì平面ABCD，∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A   ∴BD⊥平面PAC.                  解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD， 知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.  又∵PA=AD，∴∠PDA=450 .                                                        （3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，设C到面PBD的距离为d， 由，有，                         即，得          方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系， 则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.…………2分 在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0）， ∴   ∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分                      （3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为， 则，即，∴x=y=z，故可取为.  …10分                           ∵，∴C到面PBD的距离为     ………12分 略 21. （本小题满分15分） 过圆x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线． （1）求过点P的圆的切线方程； （2）若切点为P1、P2, ，求直线P1P2的方程； （3）求P1、P2两点间的距离． 参考答案： 解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4) 即kx－y+2－4k＝0             ① 则d＝ ∴＝ 解得k＝1或k＝…………3分 ∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0………………………………………5分 (2) 设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1: x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２ 因为点(4，2)在l1和l2上．则有4 x1＋2y1＝2     4x2＋2y2＝2 这表明两点都在直线4x＋2y＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x＋y－1＝0即为所求……………………………………10分 （3）……………………15分 22. 已知函数的最大值不大于，又当    （1）求a的值；    （2）设 参考答案： （1）解：由于的最大值不大于所以              ①   ………………3分 又所以.  ② 由①②得………………6分Ks*5u （2）证法一：（i）当n=1时，，不等式成立； 因时不等式也成立. （ii）假设时，不等式成立，因为的 对称轴为知为增函数，所以由得 ………………8分 于是有                                                      …………12分 所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分 证法二：（i）当n=1时，，不等式成立； （ii）假设时不等式成立，即，则当n=k+1时， ………………8分 因所以 ……12分 于是   因此当n=k+1时，不等式也成立. 根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立.…………14分 略