安徽省合肥市开城中学高三数学理下学期期末试题含解析

安徽省合肥市开城中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 实数，满足，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D 如图阴影部分， 设， 设阴影部分交点为，，， 设，，， 在处，取得最大值，， 在处，取得最小值，， ∴． 故选． 2. 设（其中为自然对数的底数），则的值为 (   ) A．             B．                C．              D． 参考答案： C 3. 函数f（x）=的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的变化趋势，判断选项即可． 【解答】解：函数f（x）=是奇函数，排除A，C， 当x＞0，并且x→0时，f（x）=＞0， 排除D． 故选：B． 【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数经过的特殊点是常用判断方法． 4. 等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=﹣18，S13=﹣52，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6的值（　　） 　 A． B． 2 C． 或 D． 2或﹣2 参考答案： C 考点： 等比数列的前n项和；等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由等差数列的前n项和公式和性质可得S9=9a5=﹣18，S13=13a7=﹣52，故可求得a5、a7，即求出b5、b7，由等比数列的通项公式即可求出q，进而求出b6． 解答： 解：∵S9=（a1+a9）=9a5=﹣18，S13=（a1+a13）=13a7=﹣52， ∴a5=﹣2，a7=﹣4， 又∵b5=a5，b7=a7， ∴b5=﹣2，b7=﹣4， ∴q2=2，即q=±， 则b6=b5?q=﹣2×（±）=2或﹣2． 故选C 点评： 本题考查了等差数列的前n项和公式、性质和等比数列的通项公式，熟练记忆及灵活运用公式是正确解题的关键． 5.  下列各组函数中，表示同一函数的是       （ ） A .                           B．  C .           D .  参考答案： B 6. 计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：          十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示,则（    ）    A．       B．      C．      D． 参考答案： A   解析： 7. 已知点P是抛物线= 2x上的动点，点p在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则| PA | + | PM |的最小值是     （A）        （B）4      （C）         （D）5 参考答案： 答案：C 8. A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}，，则A∩B=（　　） A．（0，2] B．（1，2] C．[2，4） D．（﹣4，0） 参考答案： B 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可． 【解答】解：A={x|y=lg（x2+3x﹣4）}={x|x2+3x﹣4＞0}={x|x＞1或x＜﹣4}， ={y|0＜y≤2}， 则A∩B=（1，2]， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算，考查指数函数以及对数函数的性质，考查二次函数的性质，是一道基础题． 9. 下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是             (　　) A．f(x)＝         B．f(x)＝(x－1)2            C．f(x)＝ex         D．f(x)＝ln(x＋1) 参考答案： A 10. 已知变量满足约束条件若目标函数仅在点处取得最小值, 则实数的取值范围为 (     ) A.            B.         C.            D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数．若f(x)为奇函数，则曲线在点(0,0)处的切线方程为___________． 参考答案： 【分析】 首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，从而得到，即， 所以，所以，所以切点坐标是， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 故答案是. 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目. 12. 集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=　　． 参考答案： {1，2，3} 考点： 并集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 由集合A与B，求出两集合的并集即可． 解答： 解：∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A∪B={1，2，3}． 故答案为：{1，2，3} 点评： 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，直线的一般式方程为，在空间直角坐标系中，类比直线的方程，可得平面的一般式方程为．类比直线一般式方程中系数满足的关系式，可得平面方程中系数满足的关系式为                                参考答案： 14. 正项等比数列中，，，则数列的前项和等于　　　． 参考答案：       15. 已知数列满足（）， 则__________． 参考答案： 16. 已知的展开式中含x的项为第6项， 设=       参考答案： 答案：255 17. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，则--------________ 参考答案： 【知识点】函数的周期性．B4 【答案解析】．  解析：设0＜x≤2，则﹣2≤﹣x＜0， f（﹣x）=﹣ax+b，f（x）是定义在R上周期为4的奇函数， 所以f（﹣x）=﹣f（x）=﹣ax+1=﹣ax+b， ∴b=1，而f（﹣2）=f（2），∴﹣2a+1=2a﹣1，即a=， 所以f（2015）=f（﹣1）=．  故答案为：． 【思路点拨】先根据奇偶性求出b，然后根据周期性可求出a的值，从而可求出f（2015）的值． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在直三棱柱、中，平面丄平面. (I)求证：AB 丄 BC （II)若直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明. 参考答案： Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，……1分  则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1于A1B，得AD⊥平面A1BC, …………2分　 又BC平面A1BC，∴AD⊥BC. 　　　…………3分 ∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC. …4分 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，　　　　　　　　…………5分 又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC　　　　　………………………6分 （Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，…7分 是二面角A1—BC—A的平面角，即　　　……..…8分 于是在Rt△ADC中，………9分　　在Rt△ADB中，….10分 由AB＜AC，得又所以　　…………….12分 解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，　　　　　　　…………7分 设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0),  于是 ，，　……8分 设平面A1BC的一个法向量为=(x,y,z)，则由得　……9分 可取=(0,,c)，于是c＞0，与n的夹角为锐角，则与互为余角.  ∴sinθ=cosβ==， cosφ=， ∴于是由＜b，得即又∴…..12分. 略 19. 已知数列，，为数列的前项和，，，（） （1）求数列的通项公式； （2）证明为等差数列； （3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求. 参考答案： （1）当时， 当时，， 综上，是公比为2，首项为2的等比数列， （2）∵，∴，∵，∴ 综上，是公差为1，首项为1的等差数列，. （3）令   ①②，得 20. 如图,已知直线及曲线上的点的横坐标为().从曲线上的点作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列. (1)试求的关系; (2)若曲线的平行于直线的切线的切点恰好介于点之间 (不与重合),求的取值范围; (3)若,求数列的通项公式. 参考答案： 解:(1)因为点的坐标为,的坐标为, 所以点的坐标为,则故的关系为 (2)      设切点为,则得,所以 解不等式得. . 的取值范围是 (3) 由得,即,故 , 所以数列是以2为公比,首项为的等比数列, 即解得, 数列的通项公式为. 略 21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值． 参考答案： （1）证明：连结AC．不妨设AD=1． 因为AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2． 因为∠ADC=90°，所以AC=，∠CAB=45°． 在△ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2． 所以BC⊥AC．                  …（3分） 因为PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥PC．  …（5分） 因为PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC=C， 所以BC⊥平面PAC．                                …（7分） （2）解：如图，因为AB∥DC，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN， 所以AB∥平面CDMN．    …（9分） 因为AB?平面PAB， 平面PAB∩平面CDMN=MN， 所以AB∥MN．           …（12分） 在△PAB中，因为M为线段PA的中点， 所以N为线段PB的中点， 即PN：PB的值为．      …（14分） 考点： 直线与平面垂直的判定；余弦定理． 专题： 综合题；空间位置关系与距离． 分析： （1）连结AC，证明BC⊥AC，BC⊥PC，利用线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC； （2）证明AB∥MN，利用M为线段PA的中点，可得N为线段PB的中点，即可得出结论． 解答： （1）证明：连结AC．不妨设AD=1． 因为AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2． 因为∠ADC=90°，所以AC=，∠CAB=45°． 在△ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2． 所以BC⊥AC．                  …（3分