2020-2021学年高一数学期末复习-第5章函数的概念、性质及应用精讲精练（教师版）

第5章函数的概念、性质及应用精讲精练 八J 聚焦考点一 函数的概念1.函数定义：定 义 一：如果在某个变化过程中有两个变量%y,对于x 在某个范围。内的每一个确定的值按照某种对应法则了,都有唯一的值与它对应，那么y就是X的函数，记作y =/(x),X叫做自变量，工的取值范围。叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.定义二：非空数集A到非空数集B的一个对应关 系/:A f 使 A中每一个元素在8中都有唯一确定的元素和它对应，那么对应关系/:A -8叫做A到B的函数,记作y =/(x),其中x e A,y e B,x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，和*的值相对应的V的值叫做函数值，函数值的集合C叫做函数的值域.(一般有Ca 5)注 意：1、函数定义中要求对定义域中的任何一个工,在值域中有且只有一个丁值和它对 应；但并不要求对于值域中的每一个V也只能有一个x和它相对应，即函数的对应法则可以是1对1,也可以多对1,但不可以1对 多(即定义域中一个x 对应值域中一个以上的y).2、定义域与值域都必须是非空数集.3、定义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法2 .函数的三要素：定 义 域、值 域 和对应关系.确定函数定义域的方法：(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零;（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。3.相等函数：如 果 两 个 函 数 的 定义域 和 对应关系 完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数=乂 和），=*+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数，看两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）4.函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.函数解析式的求法主要包含：配 凑 法、待 定 系 数 法、换 元 法、赋 值 法（方程组法）.5.函数的定义域、值域：在函数y =/（x）,x e A,中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定 义 域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 /叫做函数的 值 域.（1）函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求抽象函数的定义域的时候，注意定义域指的是自变量x的取值范围，注意等量关系是括号内的取值范围保持恒等不变（2）常见简单函数的值域求法：配 方 法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法,主要运用于分式函数（运用不等式的各种性质）；数形结合法（将函数的值域问题转化为画函数图像）。6.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。二、函数关系的建立建立变量间的函数关系大致上应分为两个基本步骤，第一，是确定其中的自变量和因变量；第二，则是依据现实世界的客观规律抽象概括出因变量与自变量之间的关系并根据实际背景确定函数的定义域.二、函数的巨导函数的和:设函数y=/(%)(%e%)，y=g(x)Q e%)，则y+g(x)(xe A n%)称为函数y=f(x)与y=g(x)的和；其中n D2 0O函数的积：设函数y=f (x)(x e%),y=5(x)(%e%),则)，=f 0)g(x)(x G D i n。2)称为函数y=f (x)与y=g(x)的积，其中n D2 0O在高中数学学习中，我们常常会碰到形如y=+(。0力 0)的函数，我们称这样的函数X为“耐克函数”，它是正比例函数与反比例函数的和函数，一种类似于反比例函数的重要的函数之一，它的性质及图像有十分鲜明的特征和规律，其图像形如两个中心对称的对勾，故又名对号函数、对勾函数，在实际问题中有着广泛的应用.耐 克 函 数 的 一 般 形 式 是：/u)=x+-a o)X定义域是:小0。值 域 是：(y|y 14k当x0时，x-4 k，有 最 小 值2 ；当无 0时，X =-,有 最 大 值-2 四、函数奇偶性的 证 明(判 断)I、函数奇偶性的定义偶 函 数：如果对于函数y=/(x)定义域。内的任意实数“，都有/(-a)=/(。)，那么就把函数 尸/(X)叫做偶函数.奇 函 数：如果对于函数y=/(x)定义域。内的任意实数a,都有/(-a)=-/(a),那么就把函数y=/(x)叫做奇函数.2、证 明(判断)函数奇偶性的一般步骤验证函数丁=f(x)的定义域是否关于原点对称？否！函数是非奇非偶函数.是！继续考直/(-x)=f(x)成立与否？f(-x)=-/(x)成立，/(X)是奇函数；/(-%)=f(x),/(X)是偶 函 数；/(-x)=/(x)都成立，f(x)是即奇又偶函数；/(-x)=/(x)都不成立，f(x)是非奇非偶函数.五、函数奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(函数具有奇偶性的必要不充分条件).(2)函数/(x)是奇函数o 曲线y=/(x)关于原点对称；函数/(x)是偶函数o 曲线y=/(x)关于y轴对称(3)若/(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=/(x)+/(-X)是偶函数，G(x)=/(x)-/(-x)是奇函数.(4)若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和./(x)=J。)+/(-x)+1 (x)-其中，y=；f(x)+为偶函数，*-小初为奇函数.(5)/(X)、g(x)是定义域为。|、。2的奇函数，那么在上，/(x)+g(x)是奇函数,/(x)g(x)是偶函数.类似的有：“奇士奇=奇”，“奇、奇=偶”，“偶偶=偶，偶乂偶=偶”，“奇、偶=偶”.(6)/(x)既是奇函数又是偶函数o/(x)=0(定义域关于原点对称).(7)若奇函数y =/(x)在x =0处有定义，则f(0)=0.(8)对于多项式函数/(a)=ox +Z z x T +cx2+dx+e若/*)是奇函数O /(x)偶次项的系数全为零；若/(x)是偶函数。/(x)奇次项的系数全为零.六、函数单调性的定义对干函数/(x)的定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值七,当,若当期 当 时，都有/(再)/(当)，则说/(x)在这个区间上是增函数，对应的这个区间叫做函数的递增区间；若当*/(尤2)，则说/(%)在这个区间上是减函数，对应的这个区间叫做函数的递减区间。注：函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求：一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“U ”连接；如y =L的单调递减区间时(一 8，0)X和(0,+c o)而不能写成(-c o,0)U(0,+oo)o1.单调性证明四部曲任取士,x2属于定义域，且令x,f(x),表示/(x)单调递增；对于任意的。0,都有f(x+a)0,表示/(X)单调递增；为一左2对 于 任 意 的 占#/，都有/(刍)二/(无)0恒成立，则y =/(x)在定义域内递增；x+y/(x)+/()0两个不相等的实根两个零点 =0两个相等的实根一个二重零点A0无实根无零点(3)二次函数零点的性质二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二重零点)，函数值变号.相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引 伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2.函数零点的判定(1)利用函数零点存在性的判定定理如果函数丁=/(x)在一个 区 间 司 上 的 图 象 不 间 断，并且在它的两个端点处的函数值异号,即/()/仅)0,/(x)在(a向内也可能有零点，例如/*)=/在 卜1/上，/(%)=/-2犬_3在区间 2,4上就是这样的.故/(x)在(a,。)内有零点，不一定有f(a)-f(b)0当羽题/时，有/(%)();b-0当 为 应 时，有/(Z)0;当为时，伏)0/(4)()当为，(A,由)时，有 0当羽、即有且仅有一个在(A Q时，有/”他)0,x2 0 0b八九 +M =();ac八xtx2=0aM 0,九2 ()Qb八%+冗2 =0a 不0。一 0 ;ax i=0,热OOLO,且2 0 ;为 0.a a十二:二分法1 .二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数y =/(x)定义在区间上，求它在。上的一个零点的的近似值x,使它满足给定的精确度.第 一 步：在/1取一个闭区间 4,4 之。，使/(4)与/伍。)异号，即/(4)/(%)0,则零点位于区间中，令第 三 步：取区间 4，4的中点，则此中点对应的坐标为王=4 +；(么 -4)=；(4 +4).计算不)和“4)，并判断：如果与)=0,则%就是x)的零点，计算终止；如果/(q/(X )/(王)0，则零点位于区间%,舟 中，令。2=不 也=；.继续实施上述步骤，直到区间 4,4 ,函数的零点总位于区间%,上，当a”和6”按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y =/(x)的近似零点，计算终止.这时函数y =的近似零点满足给定的精确度.要点诠释：(1)第一步中要使：区间长度尽量 小；)(a)、/S)的值比较容易计算且/(a)f(b)0.(2)根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的.对于求方程/(x)=g(x)的根，可以构造函数尸(x)=f(x)-g(x),函数尸(x)的零点即为方程/(x)=g(x)的根.十三:解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用 题 时 一般按以下几步进行：第 一 步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第 二 步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第 三 步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第 四 步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）=数 学 问 题（数量关系与函数模型）=建模（数学语言）=求模（求解数学问题）n 反馈（还原成实际问题的解答）.十 四：解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来,建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为 思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们