中考数学一轮知识复习和巩固练习考点17 多边形与平行四边形（能力提升） (含详解)

考向17 多边形与平行四边形 【知识梳理】 考点一、多边形 1、多边形： 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形． 多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段． 2、多边形的对角线： 从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形． 3、多边形的角： n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°. 方法指导： （1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形. （2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）. （3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题. 考点二、平面图形的镶嵌 1、镶嵌的定义 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． 2、平面图形的镶嵌 (1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形； (2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形； (3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形. 方法指导：能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合. 考点三、三角形中位线定理 　　1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 　　2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 考点四、平行四边形的定义、性质与判定 1、定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2、性质： (1)平行四边形的对边平行且相等； (2)平行四边形的对角相等，邻角互补； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心． 3、判定： (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形． 4、两条平行线间的距离： 定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离． 性质：夹在两条平行线间的平行线段相等． 方法指导 1.平行四边形的面积=底×高； 2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 【专项训练】 一、选择题 1．如图，四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，□ABED的面积是，则四边形ABCD的周长为（ ） 　　A．49cm 　　　B．43cm　　　 C．41cm 　　　D．46cm 2．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=4，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积 是：( ) A. ；　　　 B.2；　　　 C.3； 　　　D.4．   3. 已知点A(2，0)、点B(，0)、点C(0，1)，以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在( )A．第一象限 　　　B．第二象限　　　 C．第三象限　　　 D．第四象限 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为，则点P的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD=4AG； ④△DBF≌△EFA．其中正确结论的是（ ）． A． ①②③④ 　　　B． ①③④　　　C．②③④　　　 D． ①②④ 6 .如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，∠ADC=30°， ①四边形ACED是平行四边形； ②△BCE是等腰三角形； ③四边形ACEB的周长是10+2； ④四边形ACEB的面积是16． 则以上结论正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④ 二、填空题 7. 如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________. 　 8.若工人师傅用正三角形、正十边形与正n边形这三种正多边形能够铺成平整的地面，则n的值为　　． 9. 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，AD=8，点E、F分别是边BC、AD边的中点，点M是AE与BF的交点，点N是CF与DE的交点，则四边形ENFM的周长是__________． 　 10.凸n边形的对角线的条数记作an（n≥4），例如：a4=2，那么：①a5=_____；②a6-a5=____ ；③an+1-an=____．（n≥4，用n含的代数式表示） 11.①如图（1）,四边形ABCD中，AB∥E1F1∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形； 　　　　　　 ②如图（2），四边形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形； ③如图（3），四边形ABCD中，AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥CD，AD∥BC，则图中共有________个平行四边形；一般地，若四边形ABCD中，E1，E2，E3，…，都是AD上的点，F1，F2，F3，…，都是BC上的点，且AB∥E1F1∥E2F2∥E3F3∥…∥∥CD，AD∥BC，则图中共有________平行四边形. 12.如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为___________. 三、解答题 13.问题再现：现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题、今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着3个正六边形的内角． 问题提出：如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决： 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决、从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角． 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程： 90x+•y=360，整理得：2x+3y=8， 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_______；结论2：_______． 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案． 问题拓广：请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程． 猜想3：_______； 验证3：_______； 结论3：_______． 14. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补． （1）求∠C的度数； （2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由； （3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值． 15. 如图，正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF、CF． （1）如图①，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形． （2）如图②，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE的长； （2）当60°＜α＜90°时， ①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF，当CE2-CF2取最大值时，求tan∠DCF的值． 答案与解析 一．选择题 1.【答案】D. 2．【答案】A. 3.【答案】C．　　　　 4．【答案】B. 【解析】如图所示，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由题意得AE＝BD＝AB＝2＞，∴在边AB和AD上各存在一个点P到BD的距离为.∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝45°.又∠ADC＝90°， ∴∠CDF＝45°.∴CF＝CD＝×＝1＜，∴在边BC和CD上不存在符合题意的点P.综上所述. 5．【答案】A. 【解析】先证 ΔADF≌ΔABC,可得DF=AC=AE.∵DF∥AE 且DF=AE∴四边形ADFE为平行四边形，即①②③④是正确的. 6．【答案】D . 【解析】①∵∠ACB=90°，DE⊥BC， ∴∠ACD=∠CDE=90°， ∴AC∥DE， ∵CE∥AD， ∴四边形ACED是平行四边形，故①正确； ②∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴EC=EB， ∴△BCE是等腰三角形，故②正确； ③∵AC=2，∠ADC=30°， ∴AD=4，CD=2， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴CE=AD=4， ∵CE=EB， ∴EB=4，DB=2， ∴CB=4， ∴AB==2， ∴四边形ACEB的周长是10+2故③正确； ④四边形ACEB的面积：×2×4+×4×2=8，故④错误， 故选：A． 二．填空题 7．【答案】7. 【解析】由题意知x+y+z=8,a+(y+a)+(z+x)=22，所以a=7. 8．【答案】十五. 【解析】正三边形和正十边形内角分别为60°、144°，正n边形的内角应为360°﹣60°﹣144°=156°，所以正n边形为正十五边形．故答案为：十五． 9．【答案】4+4 ． 10．【答案】5；4；n-1． 【解析】①五边形有5条对角线；②六边形有9条对角线，9-5=4； ③n边形有 条对角线，n+1边形有条对角线， an+1-an=-=n-1． 11.【